摘 要：类比统计物理学中的“封闭系”和“开放系”，用正弦型函数刻画事故上游的脉冲车流，计算事故路段交通量与排队长度的关系，根据事故路段所在交通网的交通量守恒原理，建立红绿灯下游事故路段单向车道上拥堵车辆排队长度的通用模型。根据真实交通事故视频，统计相关数据，确定模型参数，并用MATLAB软件给出了排队长度随时间的变化曲线，预测结果良好。

关键词：城市道路 车辆排队长度 交通量守恒原理 红绿灯

中图分类号：U491 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）012-228-02

1 引言

城市道路具有车流量大、连续性强等特点，交通事故会大大降低事故断面的车流量，引起车辆排队，导致交通阻塞，若处理不当，甚至会出现区域性拥堵。通过对一段交通事故引起交通堵塞的视频的分析，主要研究了城市道路中，红绿灯下游路段发生交通事故导致车道被部分占用时，车辆排队长度随时间的变化关系。

此项研究所用的视频取自2013年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛，真实可靠。视频长度为26分58秒，图2为13分53秒时的视频截图。两辆小轿车于下午16时42分32秒在图2下部标出的直线段处发生碰撞，事故于17时01分21秒解除。

衡量城市道路畅通水平的指标是“通行能力”（也就是通常所言的“车流量”），单位是pcu/h。“pcu”代表交通量，在上述《规范》中以小客车（按1.0算）为标准车型，大型客车、大型货车和铰接车的换算系数依次为2.0、2.5和3.0。

2 车辆排队长度的数学模型

事故路段车辆的排队长度与事故持续时间、事故横断面处车流量和路段上游车流量三者关系密切，定性来看，车辆排队长度与后三者分别呈正相关、负相关和正相关。下面借用统计物理学中的概念和基本的物理学原理建立数学模型。

在统计物理学中有两个重要概念——“封闭系”和“开放系”，分别描述性质不同的微观粒子系统。粒子数不变的系统称为“封闭系”，与外界既交换能量又交换粒子的系统称为“开放系”。设想在一个封闭系A中包含一个开放系a，a系可以与A系进行粒子交换，如图1所示。由封闭系A中的粒子数守恒可以得到一个关系式：

单位时间内从a系流出的粒子数 + a系内粒子数的增加率 = 单位时间内从A系流入a系的粒子数。

若用车辆类比微观粒子，可以将事故路段（图2中三条直线段所围矩形区域）的多车辆系统看做一个“开放系”，将事故路段所在交通网内的所有车辆看做“封闭系”。事故路段内车流从事故横断面（图2下部直线段）处缓慢流出，同时有车流从上游道路流入事故路段。当单位时间内流入的车辆大于流出的车辆时，造成交通堵塞。

红绿灯的存在，使得从上游进入事故路段的车流是脉冲式的，若用正弦型函数近似，则在红绿灯的一个周期T内有以下等效关系

其中：A为等效系数，tpcuin为上游平均车流量，正弦因子刻画了上游车流量的脉冲特性。一般来讲，某一城市路段在某一时间段内的tpcuin是固定且可知的。由（1）式可求出等效系数A。

显然事故路段内的交通量pcu与排队长度L呈正相关，这也是在交通量守恒的方程中引入L的理论依据。若堵车时排队车辆在事故路段内规则分布，则只需知道车辆的平均车长和平均车距以及车道数，就可以得到L与pcu的关系。但考虑实际情况，不同路段的车流中车种构成是不同的，平均车长和平均车距的差异不可忽略。也就是说，不同路段内L与pcu有不同的关系表达式。当参与排队的pcu较大时，L与pcu近似成正比，设比例系数为k，则有：

3 参数计算与模型检验

公式（1）-（4）具有普遍意义。已知视频中事故路段上游的红绿灯周期为60s，下面具体计算视频中A、k、tpcuout三个参数的值，以获得排队长度L随事故持续时间t的变化关系，并与视频中的实际情况对照，检验上述模型的合理性。

3.1 tpcuout值的确定

3.2 k值的确定

视频中先后有7次暂停时间，图2上部直线段标出了120m路段的位置，其中16时52分46秒和16时54分03秒的两个视频画面最符合堵车时的真实状况，120m路段内的交通量统计数据均为，

3.3 A值的确定

A是表征事故路段上游脉冲车流强度的等效系数，已知T=60s，欲求A，先要计算tpcuin.假设事故路段上游的脉冲车流量短时间内不受事故影响，统计每分钟从上游路口进入事故路段的交通量，得到11组有效数据，如表2。

取以上11组数据的算术平均值，得上游平均车流量为tpcuin=18.4546pcu/min。将T=60，tpcuin=18.4546代入公式（1）得A=0.4831。

3.4 模型检验

由图3可以看出L随t呈波动上升的态势，且波动周期为60s，与上游红绿灯的周期相同。事故横断面处车流量恒定，由于红绿灯的存在导致上游出现脉冲车流，当上游平均车流量大于横断面处车流量时，排队长度就会出现波动上升的现象，比较合理。经过更精确的软件计算得出，当L=120m时，t约为1110s，即18分30秒左右。视频中下午16时42分32秒事故发生，17时0分05秒左右时画面显示排队长度达到了120m，历时17分30秒，与理论预测值相差不多。

4 模型讨论

根据事故路段所在交通网的交通量守恒原理，建立了红绿灯下游事故路段，关于车辆排队长度的一阶微分方程，给出了排队长度随时间的变化关系曲线。模型的原理和构建过程比较简单，但模型的计算结果与实际情形基本相符。

本文所建模型从数学角度给出了交通事故导致车辆拥堵的机制，能够预测在一定时间内车辆的排队长度，可以为事故发生后车辆的指挥调度提供预测数据，还可以为交通灯的信号周期设定等工作提供参考。

该模型还有很多不足之处：

（1）用正弦型函数描述上游脉冲车流并不准确，不能有效区分直行而来的车流（主要部分）和转向而来的零星车辆（次要部分），忽略了现实中的不确定因素，结果造成图三所示的排队曲线在数学上过于完美，实际的排队曲线是很复杂的。当然，若能做到实际的排队曲线围绕理论排队曲线上下波动就说明模型是比较成功的。

（2）事故横断面处车流量会受到事故占用快慢车道的差异、车种和车队空间分布等众多复杂因素的影响，看做定值不准确，但误差不会太大。

（3）模型中的k值是与排队长度紧密相关的量，在第2部分中已经详细讨论过，计算结果有一定误差。

（4）该模型仅适用于红绿灯下游路段发生交通事故后，无外界干预时，较短时间内红绿灯下游路段单向车道上的排队长度问题，不能描述区域性交通拥堵的情形。

参考文献：

[1] 城市道路工程设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2012.

[2] 梁希侠，班士良.统计热力学[M].北京：科学出版社，2008.