【摘 要】分子量分解问题即求解任意给定分子量的蛋白质的氨基酸组成。针对这一问题提供的条件，本文给出了一般性的求解多元一次整系数线性方程[1]的非负整数解的模型。

【关键词】多元一次整系数线性方程；非负整数解

1.问题重述

生命蛋白质是由若干种氨基酸经不同的方式组合而成。在实验中，为了分析某个生命蛋白质的分子组成，通常用质谱实验测定其分子量X （正整数），然后将分子量X分解为n个已知分子量氨基酸的和的形式。某实验室所研究的问题中：

a[i]分别为57，71，87，97，99，101，103，113，114，115，128，129，131，137， 147，156，163，186。

对如何分解分子量X作出解答，即针对任意一个分子量X具体给出由哪些氨基酸组成。

2.符号系统

a[i]：第i种氨基酸的分子量；

x[i]：待测定蛋白质分子中第i种氨基酸的个数；

X：待测定蛋白质的分子量；

N：待测定蛋白质的分子量为X时的所有解的个数；

3.模型建立

3.1多元一次整系数线性方程组的一般性数学模型

实际情况下，蛋白质分子量是由氨基酸分子量的总和，再减去脱去的水分子分子量的总和，由于题目中所给的氨基酸分子量均已去除一个水分子的分子量，因此，本文在计算蛋白质分子量时，在没有其他约束条件下，根据本题已知的蛋白质分子量X以及每种氨基酸的分子量即可知，题目实际上就是求解多元一次整系数线性方程：

■（a[i]■x[i]）-x的所有非负整数解。因此可以列出其一般性通用数学模型如下：■（a[i]■x[i]）=Xx[i]≥0（i=0，1，2…，18）

3.2考虑含氮量情况下的改进数学模型

而实际上，蛋白质是由C（碳）、H（氢）、O（氧）、N（氮）组成，一般蛋白质可能还会含有P（磷）、S（硫）、Fe（铁）、Zn（锌）、Cu（铜）、B（硼）、Mn（锰）、I（碘）、Mo（钼）等。生命体蛋白质中氮的含量相对比较稳定，维持在16%，波动范围在15%～17% 。这一现象被凯氏定氮法应用于测定有机物的含氮量，通过测定蛋白质的含氮量，求出待测样品中蛋白质的含量[3]，并且该方法已被广泛应用。本题也利用了这一现象，即含氮量范围在15%～17%之间时，才比较符合实际情况，在此条件下所得到的的解才较为合理，此时改进后的数学模型为：

■（a[i]■x[i]）=X0.15≤■■（c[i]■x[i]）≤17x[i]≥0（i=0，1，2…，18

下文将针对这一改进数学模型，在不拥有计算机的情况下分别进行解答。

定理：n元一次方程■（a[i]■x[i]）=X有解的充分必要条件为d0/d，其中d0为a1，a2，…，an的最大公约数即□d0=（□a1，a2，…，an），且所有整数解为[ x1，x2，…，xn]□=[d/d0，u2，u3，…，un]P，？坌ui∈Z，i=2，3，…n，P为可逆矩阵且 PA=D0[2]。

因为题目待测蛋白质由所给氨基酸组成，因此方程必定有解，则按照“矩阵法”求解如下：

对于[A，En]-（En为n级单位阵）通过多次初等行变换化为[D0，P]的形式，

■

由定理可知[x1，x2，…，xn]□=[d/d0，u2，u3，…，un]P，所以：

■

■

其中u2，u3，…un可取意整数值。

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■

其中可在取任意整数值。■

【参考文献】

[1]赵静.数学建模与数学实验（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

[2]周立仁.n元一次不定方程整数解的矩阵求法，2003.16.

[3]秦润梅.凯氏定氮法测定蛋白质的氮含量，2011.17.