摘 要：以曲线和曲面为代表的几何特征在现代生活中随处可见，研究者对其在现代大型建筑设计、工业生产制造、物体运动学规律等诸多领域进行了广泛深入的探究。本文详细分析了平面曲线曲率几何学特征以及其对应的运动学规律，试图从多个角度对曲线曲率问题进行全方位的解读与探索，同时利用电脑编程求解，进一步研究了椭圆曲线在不同长短半轴比下的曲率半径变化规律。

关键词：平面曲线；曲率半径；运动学分析；椭圆曲线曲率；程序求解

一、概述

在现今社会生活中，以曲线和曲面为代表的几何特征处处可见。建筑设计中的直曲结合、汽车外形流线型曲面的制造加工以及各种物体的曲线运动等，都是生活中对曲线、曲面的应用。因此，在现实生活应用的基础上对各种曲线曲面几何特征的研究具有重要意义。其中，平面曲线的曲率半径在数学和物理学中具有相通之处，由此又激发了我们从不同的学科角度对一个概念进行深入理解的灵感。

平面曲线在各种领域得到广泛应用。在综合地质勘探的编录中，[1]地质学家利用曲率圆的某一段圆弧来近似地代表岩层的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半径来编录岩层走向变化大、有褶皱构造的坑道，并用这一编录结果与实际情况作比较。勘测结果显示，这种方法具有一定的实用价值。

另外，科研人员根据平面曲线曲率半径的运动学规律制造各种机器零件。例如，数控车床加工时，常常利用刀具切割多曲率圆弧面；在数控车床上加工多曲率圆弧面工件时，[2]不同曲率圆弧交接点的坐标值、加工工艺和刀具的应用非常重要，它不仅具备加工程序的简洁性，还会影响工件的加工质量和加工效率。在工业制造中，加工特殊管道时，也需要对刀具的曲线加工路径以及刀具自身曲率半径进行深入的研究，用于工厂生产。

本文系统地从数学几何定理以及物理学物体曲线运动的角度探讨了平面曲线曲率的数学物理意义，从而全面认识平面曲线的几何特征的数学和运动学规律。然后进一步以椭圆曲线为例，探讨了这一广泛存在于天体运动以及工业曲线加工领域的特征曲线的曲率半径变化规律，并通过数值程序的求解得到了不同位置的曲率半径，研究了椭圆曲线在不同位置的曲率半径大小。

二、平面曲线曲率半径的数学求解及运动学分析

在几何学中，用曲率半径来描述曲线的弯曲程度。如图 1（a）所示，设曲线S是光滑连续可导的，曲线上处处都有切线，而且切线随着切点的移动而连续变化，在图示的xOy坐标系中的曲线方程为y=y（x）。对于曲线上的微弧段AB，其对应圆的圆心为O"点，则OA或OB的长度即为曲线上该点待求的曲率半径，微弧段AB的长度为ds，对应的圆心角为dα，则有曲线上该点对应的曲率半径为ρ=|—|，其中易得微弧段的圆心角为dα=—dx，微弧段的长度为ds=√1+y"2dx。故可得曲线S在该微弧段处的曲率半径如式①所示：

平面曲线作为一种运动轨迹在生活中也处处可见，从运动曲线S处物理学分析如图 1（b）所示，某物体的运动轨迹为图中的曲线S，曲线运动中A点处的速度方向为该处的切线方向，物体运动到A点时的受力为F，将力F在切线方向和法线方向分解为Fn与Ft，其中，Fn的作用效果改变物体运动的方向，Ft改变物体运动的速度大小。

特别地，物体在该处速度方向的变化反映了曲线在该处的弯曲程度，Fn对应于该处的一个瞬时圆周运动，有Fn=—。

故由上分析可得，在物理运动学中，对曲线S处的曲率半径求解式如下式：

三、椭圆曲线的曲率半径分析及程序求解

椭圆曲线作为一种特殊的平面曲线，在天体运动和工业机械加工中随处出现。一方面，在对天体物体的研究中，绝大多数的天体运动轨迹可以合理地简化为椭圆运动，因此对椭圆运动的几何特性进行研究在探索宇宙科学中发挥着重要作用；另一方面，在工业生产加工制造椭圆形曲面或者孔洞时，常常需要选择合理半径的刀具，这是因为如果刀具尺寸过大，则无法加工生产出所需要的椭圆结构，无法保证加工精度；而当刀具尺寸过小时，加工效率则受到较大的影响。

因此，对待加工的椭圆空隙各处曲率半径的研究在选取最为合适大小刀具时显得尤为重要。

如前文中所述，对椭圆曲线曲率半径的研究一方面可以通过式①进行数学求解，另一方面也可以通过式②进行运动学求解。

在此则从运动学角度对椭圆曲线曲率半径进行分析。椭圆运动一方面可以看作天体运动的轨迹，在焦点处的天体对椭圆轨道上的天体万有引力的作用使得其做椭圆运动；另一方面可以从运动的分解与合成将其可以看作在两个维度上的简谐振动的合成，如图 2所示。根据椭圆的参数方程可以将椭圆曲线轨迹理解为在x方向和y方向上的简谐振动的合成。设在椭圆曲线上某点坐标为（x，y），则从两个简谐振动合成的角度可得：x=a·cosωt，y=b·sinωt，式中的ω和t分别为简谐振动的角频率和运动时间。则可得在椭圆运动中所对应的回复力如下式③所示：

Fx=mx=-mω2acosωt

Fy=my=-mω2bcosωt

运动中对应的速度为：

vx=x=-aωsinωt

vy=y=-bωcosωt

因此可以得到在椭圆曲线运动中每一时刻对应的速度vi（vx，vy）和受力Fi（Fx，Fy）。

由式②可知，当前时刻曲线曲率半径由其对应的速度和向心力决定，即ρ=—，其中每一时刻的F⊥v可以表示为下式：

为了进一步研究椭圆曲线曲率半径ρ在不同位置的变化，取椭圆的半短轴b为1个单位长度，分别取椭圆曲线的长半轴a为1、2、3、4个单位长度进行计算机求解。通过计算机程序求解得到如图 2（b）所示的结果。其中可以得到在从A点到B点变化过程中，椭圆曲线曲率半径越来越大，而且曲率半径的变化率先增大后减小。此外，数值求解结果在椭圆曲线的长半轴端点A和短半轴端点B的曲率半径结果与理论值—和— 一致。

四、总结

平面曲线曲率半径的运动规律的应用在生活中随处可见。在科学研究领域，科学家利用这个规律来进行如天体运行、卫星轨道勘测等动态研究；在制造业中，大多企业则利用此规律确定刀具切割方式来切割数据插孔和管道等日常必需品的形状，从而将曲率半径的演化规律运用于实际中。

本文详细分析了平面曲线曲率半径的运动学规律，同时通过计算机程序求解，进一步研究了不同长短半轴比下的椭圆曲线曲率半径的演化规律，椭圆曲线上从长半轴端点到短半轴端点演化的过程中，曲率半径会逐渐增大，并在两端点与理论值吻合一致。

参考文献：

[1]侯剑英.浅谈数控车床加工多曲率圆弧面的方法[J].科学咨询（科技·管理），2011，（12）：91-92.

[2]王文涛.从运动学角度求几种典型曲线运动的曲率半径[J].物理教师，2013，（4）.

[3]王宝勤.平面曲线与其曲率半径整分点轨迹的关系[J].新疆师范大学学报（哲学社会科学版）， 1980，（00）：131-144.