【摘要】四色猜想诞生的100多年来，困惑了许多想解开此疑题的人们.本文以明确四色猜想的数理涵义和数理概念为切入点，明确出100多年来没有谁明确出的四色猜想的数理涵义和数理概念，从而准确地找到了论证四色猜想的论题、论点、论据，开拓了论证此论题的捷径.从而轻而易举地用平面几何原理求证出四色猜想的初级定理，并创新性地确立了化不规则N边形为变形三角形——即不规则三边形的变形几何原理，使之与四色猜想的初级定理相结合，导引出广义四色定理（又称四色定理），使四色定理能够直接应用于描绘复杂的地图.使论题成立.

【关键词】四色猜想；变形三角形；变形几何；四色定理

1.四色猜想产生的历史背景

1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色.这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展.1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决.1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战.

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普（Alfred Kempe）和泰勒（Peter Guthrie Tait）两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理.大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题.11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞.他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽.不久泰勒的证明也被人们否定了.人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理.就是说对地图着色，用五种颜色就够了.希伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，证明了较弱的五色定理.下图为错误的四色地图，图中有黄、蓝、红、绿、白五种颜色：

2.四色猜想的通俗表述

四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界三大数学猜想之一.通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同.1976年借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理.——以上这段文字是通过百度搜索找到的四色猜想与四色定理的通俗表述.

所谓“通俗表述”即缺失明确的数理概念和定义.数理概念的缺失，直接导致论题关联的论点、论据、目标、方向不明确，难以想象100多年来竞相角逐此论题的数学家们，如何理解四色猜想的论点、论据、目标和方向？而在缺失明确的论点、论据、目标和方向的前提下论证此题，就像偏离目标的车辆，车速越快离目标方向越远.因而，求证四色猜想首先必须明确四色猜想的数理涵义，才能找准论题的论点、目标、论据，实施有效的求证.以下即根据四色猜想的通俗表述，明确四色猜想的数理概念和数理涵义.

3.四色猜想的数理涵义与概念

根据四色猜想的通俗表述，可明确出四色猜想的数理涵义为：

（1）因为通常使用的地图均为有限平面，因而四色猜想通俗表述的“每个平面地图”，即指有限平面.但如果局限于有限平面求证四色猜想，则此论题不具广义性、规律性的数理价值.因而，论证四色猜想必须把有限的地图平面扩展为无限平面——即扩展为任一无限平面.

（2）如果四种不同颜色在同一平面上，均只表示为颜色不同的线段，彼此相互衔接时即重叠为一条直线，只能把一个无限平面分割成2个平面.因而，要使四色猜想成立，4种颜色不能只表示为直线，必须表示为界限清晰的界限性平面.

（3）四色猜想通俗表述的“区域”即平面——指用四种颜色在同一无限平面上涂染而成的边界清晰的界限性平面.根据几何原理3点成面，最少边线的界限平面即为三角形平面.因而，4种颜色在P平面上涂染成的界限平面的最少边数为3，但任一种颜色涂染成的界限平面均没有边数限制，可迎合论题需要涂染为任意边数、（面积）任意大小的N边形.

（4）四色猜想通俗表述的“使没有两个邻接的区域颜色相同”的含义为：1.用四种颜色涂抹成的界限平面可以为无限多个； 2.无限多个界限平面无间隙地相互衔接、却互不相交；3.两个邻接的界限平面不能出现颜色重复；4.四种颜色涂染成的无限多个界限平面与同一无限平面的交角均为0——均重叠于无限平面上，构成无限平面的一部分，即以4种颜色不同的界限平面，无穷分割同一无限平面.

综合以上分析出的四色猜想的数理涵义，即可明确四色猜想的数理目标与论题的数理概念：

数理目标：四色猜想为平面几何题，目标指向平面分割；

四色猜想论题的数理概念为：求证用4种颜色构成界限平面（无形状、大小限制，可为≥3的N边形），分割任一无限平面，使衔接相连的界限平面颜色均不相同.

4.四色猜想证明

4.1.论题：求证用4种颜色构成界限平面（无形状、大小限制，可为≥3的N边形），分割任一无限平面，使衔接相连的界限平面颜色均不相同.

4.2.证明：

4.2.1.设P为任一无色的无限平面，4种颜色为黄、蓝、红、绿4色.

4.2.2.用黄、蓝、红、绿4色中的任一种颜色，在P平面上涂染，均可形成规则或不规则的3、4、5……N边形、圆形等任意形状和任意大小的色块平面，而当色块平面

4.2.3.用A表示黄色在P平面上涂染的界限平面集合，A包括A1，A2，A3……An；用B表示蓝色在P平面上涂染的界限平面集合，B包括B1，B2，B2……Bn；用C表示红色在P平面上涂染的界限平面集合，C包括C1，C2，C3……Cn，用D表示绿色在P平面上涂染的界限平面集合，D包括D1，D2，D3……Dn.

4.2.4.论题要求：用黄、蓝、红、白这4种颜色，同时在P上涂染，形成彼此衔接互不相交的无穷多个界限平面，并使相互衔接的界限平面不出现颜色重复，即使A、B、C、D这4种不同颜色的界限平面，同在P平面上彼此衔接互不相交.A、B、C、D这4种颜色不同的色块界限平面，在P平面上两两衔接的分界线即为两个色块界限平面的公共分界线，也是相互衔接的公共线段，因为A、B、C、D均可以为不规则的N边形，因而两个色块界限平面的衔接线既可为直线、弧线、也可以为不规则的曲线.A、B、C、D这4种颜色不同的色块界限平面，在P平面上可以有无穷个，但两两衔接的形式可统概为6种：

（A与B衔接公共线段为AB）（A与C衔接的公共线段AC）（A与D衔接的公共线段为AD）

（B与C衔接的公共线段为BC）（B与D衔接的公共线段为BD） （C与D衔接的公共线段为CD）

由上图可见，A、B、C、D这4种颜色不同的界限平面，在P平面上两两衔接共有6种形式：当A与B衔接时，A与B至少有一条公共边线；当A与C衔接时，A与C至少有一条公共边线；当A与D衔接时，A与D至少有一条公共边线；当B与C衔接时，B与C至少有一条公共边线；当B与D衔接时，B与D至少有一条公共边线；当C与D衔接时，C与D至少有一条公共边线.用AB表示A与B衔接的公共边线，并AB=BA；用AC表示A与C衔接的公共边线，并AC=CA；用AD表示A与D衔接的公共边线，并AD=DA；用BC表示B与C衔接的公共边线，并BC=CB；用BD表示B与D衔接的公共边线，并，BD=DB；用CD表示C与D衔接的公共边线，并CD=DC.并且AB、AC、AD、BC、BD、CD既可为直线、弧线、也可以为不规则曲线.

6种衔接形式只是A、B、C、D4种色块界限平面衔接形式的统概，由示图1可见A、B、C、D均只各有3种衔接形式：

示图2：A、B、C、D各自独有的3种衔接形式示意图

4.2.5.论题要求：使A、B、C、D在P平面上衔接时，两两衔接的界限平面的颜色不相同.同一平面上，两个互不相交的界限平面的衔接即为公共边线的衔接，因而要使A、B、C、D这4种色块界限平面在P平面上衔接时两个衔接平面的颜色不相同，即使A、B、C、D这4种色块界限平面中的任一界限平面的边线不重复AB、AC、AD、BC、BD、CD中的任一条边线，则论题成立.但6种衔接形式为A、B、C、D这4种界限平面共有的衔接形式的统概，其中A、B、C、D均只能各有3种衔接形式，因而要使论题成立，A、B、C、D这4种色块界限平面的边数只能≤3.

4.2.6.据几何常理确知，以周长为边线的圆形为边数最少的平面几何图形——只有1条边线.若在P平面上取任意一点为圆心，画无限多个同心圆，轮次涂染黄、蓝、红——即仅用A、B、C三种色块界限平面，即可无穷分割P平面，并使相连的界限平面颜色均不相同.

图示3：三色定理示意图

上图即为三色定理示意图.

三色定理：即用3种颜色构成的界限平面分割任一无限平面，可使衔接相连的界限平面颜色均不相同.方法为：在任一无限平面上取任一点为圆心，取顺次递增的任意数值为半径，作无限个同心圆，轮次以A、B、C三种不同颜色作环形涂染，循环往复，即使相互衔接的环形色块界限平面的颜色均不相同.

4.2.7.根据2点成线、3点成面的平面几何原理可知，除圆形外，边数最少的界限平面即为三角形（三边形）平面，无论是锐角、直角、钝角、规则或不规则的三角形平面，均只有3条边线.据上解A、B、C、D在P平面上均各有3条不重复的衔接线（边线），衔接线不重复即边界衔接的色块界限平面的颜色不重复.因而只要以A、B、C、D各自固有的3条不重复的衔接线为三角形的边线，在P平面上作无穷多个任意大小彼此衔接互不相交的三角形，即使衔接相连的界限平面颜色均不相同，则论题成立.A、B、C、D在P平面上取三角形时，3条边线同时为衔接线，以下示图表示：

不重复即衔接的色块界限平面的颜色不相同.如此类推，即可在P平面作无穷多个A、B、C、D集合的三角形，交使衔接的色块界限平面的颜色不相同.即使论题成立.

综合上解，即得出初级四色定理：

用四种颜色构成的界限平面分割任一无限平面，当4种颜色构成的界限平面均为三边形（规则或不规则三角形）时，即使衔接相连的界限平面颜色均不相同.

但因为地图由3、4、5……N边形、圆形等不规则图形构成，故单纯的环形界限平面无法应用于地图描绘，因而，三色定理无法应用于地图描绘.单纯的直线三角形也无法应用于地图描绘，因而初级四色定理也无法直接应用于地图描绘.而要使初级四色定理应用于地图描绘，即涉及怎样把不规则多边形变为只有3条边线的“三边形”的“变形几何”——用 “变形几何”一词，是因为想不出更贴切的词来传导把不规则多边形，变化为只有3条边线的“三边形”的数理意念，第一时间跃升脑海的词即为“变形几何”，故取

而用之.

5.化不规则多边形变为“三角形（三边形）”的方法

众所周知，地图描绘是无法改变任一地区、任一国家地貌形状的，因而四色定理应用于地图描绘时，只能基于不改变任一地区、国家地貌的基础上进行.而当地貌图形固定不变时，变的只能是数理思维模式与绘图技巧.

根据几何原理，任一线段（包括直线、曲线、弧线）均由无数点组成.在一条线段上取任意2点，这2点间的线段即可视为三边形的底线，再从这条底线外取任意一点为顶点，用线段分别将底线上的2点与顶点连接，即得出一个底边不规则的三角形（三边形）.如下图示：

同理，图A、图B中的三角形可变形为以下图C、图D中三边不规则的三边形：

图C图D即：在任一不规则多边形的周边上取任意不在同一直线上的3点，均可视为三角形顶角1个顶点，和2个底角的2个顶点，则这个不规则的多边形即可视为由3条不规则的边线构成的变形三角形——也称不规则三边形.

同理，仅有一条边线的圆形圆周上的任意3点，均可视为三角形1个顶角和2个底角的3个顶点，则这个圆形即可视为由3条弧形边线构成的变形三角形——也称弧边三边形：

因而，在同一平面上，任一不规则的多边形或圆形，均可视为变形三角形——即不规则三边形；任一不规则的多边形或圆形，均可以3条不规则的边线（或弧线）与外界衔接——这即是使不规则多边形和圆形化为变形三角形的原理，变形三角形也称不规则三边形.同理，把不规则的多边形或圆形变为变形三角形的原理，即为变形几何的原理.变形几何原理的基本内涵为：所谓“变形几何”，即实相几何图形不变，而是以变化的数理逻辑思维，在实相几何图形的基础上导引出不同概念的几何图形.

掌握了任一不规则多边形和圆形均可变为不规则三边形的原理，初级四色定理即可与变形几何原理相结合，从而推导出广义四色定理：

用4种颜色构成的界限平面分割任一无限平面，当4种颜色构成的界限平面均为三角形时，即使衔接相连的界限平面颜色均不相同.应用变形几何原理，任一不规则的多边形和圆形均可视为变形三角形（可变为不规则三边形），均可只以3条不规则的边线为公共接壤线；因而，使4种颜色构成的界限平面可无形状限制，但必须任一界限平面均只以3条边线为公共衔接线，即可无穷分割任一无限平面，并使衔接相连的界限平面颜色均不相同——这即是广义四色定理，简称四色定理.

广义四色定理可以直接应用于地图描绘.

6.应用四色定理描绘地图

应用四色定理描绘地图，即仅用4种颜色描绘任一地区、国家、世界的地图，并使相邻两个区域的颜色均不相同.

统概而论，地图是地球表面地貌物象的缩略图.地表由陆地（包括平原、沟壑）、海洋（包括河流、湖泊）、山脉、林木（包括草原、森林）四大类物形构成，四大类物形在地表无间隙衔接.地图描绘，即把这四大类物形描绘在纸质、布质或其他材质制成的同一有限平面上.而适合于无限P平面的四色定理，同样适合于有限P平面.

设用于描绘地图的有限平面为P平面，应用四色定理描绘地图时，四大类地貌中任一复杂地貌均可视为不规则的N边形或圆形，并均为地图描绘时不可改变的实相几何图形.但应用变形几何原理，可把任一不规则的N边形或圆形变为不规则三边形.因而，无论四大类地貌的几何形状如何复杂和不规则，均可只以3条边界线与周边的自然景物衔接.用四种颜色描绘地图的方法有两种：1.四种颜色均无特指；2.四种颜色均为指定颜色，以下分别说明.

1.因为地表自然物象统概为4大类，故任一区域庇邻的自然物象均只能≤3（本身为一类）.因而，当四种颜色无特指时，则可应用四色定理，在不改变任一区域地貌的几何图形的前提下，使任一区域地貌固有的几何图形变化为不规则三边形，并依据（4、2、8）所解的方法，顺次选择A、B、C、D四种颜色中的一种，涂染每个地区或国家，即可使两个相邻衔接的区域的颜色不相同.但这样描绘出的地图四大类地貌颜色混杂，即不同地区、国家的陆地、海洋、山脉、森林的颜色不统一，同一种自然物象会被描绘成黄、蓝、红、绿4种颜色，不易于自然物象的区别.因而，地图描绘惯常使用指定颜色，即使某种颜色特指某种自然物象，比如蓝色特指海洋、黄色特指陆地……以下即用指定颜色的方法，使四种颜色依据四色定理描绘地图.

2.设用于描绘地图的有限平面为P平面，用黄色表示陆地（包括平原、沟壑），并用字母A表示；用蓝色表示海洋（包括河流、湖泊），并用字母B表示；用褐色表示山脉，并用字母C表示、用绿色表示林木（包括草原、森林）；则地表的一切物象均可以用衔接而互不相交的A、B、C、D四种色块界限平面描绘在P平面上.

又因为，地表的一切物象统概为4大类，因而，P平面上任一核心或非核心物象的边线衔接的自然物象均只能≤3种，即：陆地只能衔接海洋、山脉、林木；海洋只能衔接陆地、山脉、林木；山脉只能衔接衔接陆地、海洋、林木；林木只能衔接陆地、海洋、山脉.因而，无论任一地区或国家的边境接壤多少个地区或国家，其边境线衔接的自然物象均只能≤3种.因而，使用指定颜色的方法，不但有利于自然景物的识别，也利于应用四色定理描绘地图.

据上所设，任一地区或国家的陆地在P平面上均表示为A色块界限平面.因而，当任一地区或国家的边境线只衔接海洋、河流、湖泊、山脉、草原、森林时，则A色块界限平面只与B、C、D这3种色块界限平面衔接，并且A、B、C、D均为无间隙衔接，因而应用变形三角形原理即可视A为不规则三边形，以3条不规则的边线分别与B、C、D三类不相同的自然物象衔接，则四色定理成立.

而当2个、3个……N个地区或国家的边境线为公共沙漠时，任一与沙漠接壤的地区或国家，内陆与沙漠间均存在着过渡地带，过渡地带上或存在林木、草原、山脉、海洋、河流等自然物象，即在两个A色块界限平面之间或出现B、C、D色块界限平面的轮替，对于沙漠公共区域，四色定理同样成立.

只有一种现象例外，如果2、3……N个地区、国家的边境以陆地接壤，即相互衔接的边境线上没有海洋、湖泊、山脉、河流、林木、草原等自然物象为分界线，即为2、3……n个A色块界限平面直接连接.但世界上陆地直接相连并边界线上无植披、无山脉、无河流、海洋等自然物象分界的地区或国家极少存在，即使偶尔会出现2个、3个……n个地区或国家的陆地直接接壤现象，也可以通过添加界限物象以达成色块界限平面的轮替.最简单的方法即为添加蓝色或裼色的边界线、界碑，或种植绿色的林带，即可达成色块界限平面的轮替.这样，四色定理同样成立.

因而，运用四色定理，用四种颜色描绘地图，可使相邻的区域不出现颜色的重复.论题成立.

7.综述

论证四色猜想这道困惑了人类100多年的疑题，我只用了6大步骤，自始至终没有使用任一计算式，最本位地让平面几何回归平面几何的范畴加以论证.我之所以能找到这道疑题简洁的论证方法，是因为我以明确四色猜想的数理概念为切入点，这看似简单的文字概括，100多年来却从没有谁像我一样专注和深入地思考过，并准确地用文字表达，这归蒂于我的理解力和文字表达能力.数理涵义与概念不明确的四色猜想，并不具广义性、规律性的数理应用价值，只有明确出四色猜想的 数理涵义和概念，四色猜想才具有广义性、规律性的数理应用价值.并据此找准了论题、论点，论据，从而打开了论证此题的捷径之门.

此文中所述的变形几何的概念和原理、化不规则N边形为变形三角形的原理，均为独创，有待专家学者们鉴评.而我运用变形几何原理论证四色猜想，又一次冲破了人类数理固有的樊篱，开拓出论证此论题的捷径.想说：数学并非越繁复、越高深即越接近真理，返璞归真才与真理同道；人类的一切文明成果均源于创造与承继，没有创造即没有承继，没有承继即没有发展.而当简单的问题被过度地复杂化，并成为人类社会固定的程式，庸人自扰即成为人类世界的通病.

第6节——应用四色定理描绘地图，因为电脑绘图困难等原因，我无法例具更多的示图，也没有详尽地举一些地区和国家的地貌实例丰富论证内容.但当四色猜想的数理涵义和概念明确后，四色猜想的应用范畴已超越了地图描绘，而成为具有广义性、规律性的数理定理.而我对四色猜想概念明确、逻辑严谨的简洁论证，足以沥清100多年来所有与四色猜想相关的疑问，真知者即有共识.

我用简洁的方法论证四色猜想，或将成为电脑永远也无法战胜人类大脑最好的例证.但我不知道，习惯于奖励高深艰涩学术成果的人们，是否会给予简洁同等的认同，让我收获同等的荣誉与奖励.