【摘要】 怎样上好数学课？什么样的课才是好课？北京四中刘长铭校长认为一堂好课应该具备“四有”：有知识、有方法、有生活、有境界，笔者称之为“四有说”。在评价一堂课的优劣好坏的标准上，笔者同样赞赏重庆市数学教研室主任张晓斌先生的“三味说”，张先生认为一堂好的数学课应该要有“三味”，第一味是要有数学味，第二味是要有文化味，第三味是要有艺术味。笔者认为不管是刘长铭校长的“四有说”，还是张晓斌先生的“三味说”，总而言之，一堂好的数学课取决于两个因素，第一个因素是教师对教材的理解，推而广之是对数学的理解，包含对数学真、善、美的认识，这种认识应该上升到数学哲学以及数学文化的高度；第二个因素是教师对教学的理解，推而广之是教师对学生的了解以及对人的认知心理的体察，这种体察应该以科学的心理学做基础。诚如19世纪德国哲学家、心理学家，科学教育学的奠基人赫尔巴特所说的那样，“教育学作为一种科学，是以实践哲学和心理学为基础的。前者说明教育的目的；后者说明教育的途径、手段与障碍。”这应该成为所有教育工作者的信念和追求！

【关键词】 高中数学 课堂观察

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）03-046-02

一、从美学视角观察：一堂好的数学课应该要有数学味

（一）数学是什么以及数学美在哪

首先，数学是研究空间形式及其数量关系的一门学科（这是恩格斯给数学下的一个经典的定义），我把它简称为数和形，数学蕴含着宇宙中数和形的统一、和谐之美。在高中阶段，不管是纯数学模块如分析学、代数学、几何学还是应用数学模块如研究数据采集与数据分析的统计、概率之学，都不能脱离数和形这两个范畴。见过鹦鹉螺的人，一定会被其优美的外形以及神奇的构造所震撼（如下图所示）。大自然中，这种螺线无处不在，宏大如宇宙星云的形状，微小如向日葵的花瓣、松树的果实等等。为什么鹦鹉螺那么美？这里有所谓“形”的博大，也有“数”的精深，是一种极致之美。可以这么说，数学和哲学一样，蕴含着我们宇宙中之至真、至善、至美。从形的方面观察，她与数学中的黄金螺线相近，从数的角度挖掘，她跟数学中的斐波那契数列、黄金分割、自然律e都有关。所以数学家伯努利临死前嘱咐要将这种螺线铭刻在其墓碑上。

其次，数学研究问题解决，蕴含着人们发现问题、分析问题以及解决问题的精神、思想、方法，这是数学的思辨、理性之美，这也是我认为数学使人聪明的原因。就此意义上讲，数学教学中，比教给学生数学知识更重要的是培养学生数学的眼光、素养和头脑。问题解决尤其离不开转化和化归，数学中转化和化归无处不在，极端一点讲，问题解决就是转化和化归，如美籍匈牙利数学家波利亚写《怎样解题》也是这个意思。转化即变化，一个人如果能够懂得变化，就能化腐朽为神奇。

（二）数学教什么以及怎样学数学

首先，数学课堂的第一个任务就是数学知识的教学。数学知识可以分为两类，即概念性的知识和原理性的知识，其中数学的公式、性质、法则、定理、公理都可以称为原理性的知识，而概念性的知识尤其重要，是数学课堂教学的核心任务。数学知识的教学的一个总的原则应该是“问题驱动”，充分挖掘数学知识的形成过程及其本质。例如复数概念的教学，虚数是如何产生的，其中的来龙去脉是不能完全回避的，而不能和教材一样地处理，给人以粗糙和牵强的感觉。又如椭圆定义的教学，如何抓住椭圆定义的本质呢？椭圆上同一个点对应的两条焦半径的长度是可变的，但变化中有不变，也就是两条焦半径的和是一个不变量，这个不变的东西才是椭圆定义的本质。

其次，数学课堂的第二个任务就是数学解题的教学。数学的习题包括例题和练习，对数学解题的教学原则，我最欣赏汕头金中卢镇豪老师的一句话：一题多用，充分挖掘例题的教学功能。重视一题多用，包括一题多思、一题多变、一题多解。首先就是要重视解后思，其次就是要重视同一个问题的多种解法，再次就是要重视题的变化，即变化题目。只有这样才能培养学生发散思维和创新意识，举一反三触类旁通。

怎样学数学？首先，是要学会数学地表达。我们知道表达是要靠语言为媒介的。什么是数学的语言？通常说的有三种，文字语言、图形语言、符号语言，那么我认为图形语言、符号语言才是真正的数学的语言。所以，尤其要重视图形和符号在数学的教学中的作用。举例来说，很多高一新生在刚入学时，学习数学会产生困难，我认为一个重要的原因就是对集合语言不能适应，尤其是集合的符号语言，比如描述法，在我们数学中是有一定的规范的约定和要求的，如果不能清楚的認识集合的符号语言，就不能很好的理解集合中元素的构成，对后续知识的学习甚至整个高中数学的学习将带来不利的难以挽回的影响。这是我们不能不引起重视的。

怎样学数学？其次，是要学会数学地思维。何谓数学地思维？学会数学地思维，就要体会数学的思想在数学知识的学习以及数学解题的学习中的重要作用。什么是数学思想？所谓思想者，即方法论也。高中数学究竟有哪些数学思想？从这些数学思想在数学知识教学以及数学解题教学中的地位和作用来说，我把它们分为以下几种，即数形结合的思想、转化化归的思想、分类分步的思想以及归纳演绎的思想。为此我还专门总结过几句话如下：第一句话就是“数形结合是数学学习的最高境界”。第二句话就是“转化化归是数学解题的不二法门”。第三句话就是“分类与分步是数学攻难的惯用手段”。第四句话就是“归纳与演绎是数学推理的基本方法”。限于篇幅，这里不再详细论述。

二、从哲学视角观察：一堂好的数学课应该要有文化味

（一）数学文化与我们对数学精神的认识

什么是数学文化？首先我把数学文化理解为人们对数学本身蕴含的一种真、善、美的东西的认识，这里有人类理性的光芒，也有数学应用的价值。我所理解的数学精神的核心在于变化和不变。变化中蕴含这不变，对那个不变的东西的研究正是数学的永恒追求，也是数学的信仰。但对不变的那个东西的探究又需要懂得变化，变化是问题解决的必然途经。所以说，不变是数学的追求，而变化是数学的智慧，全部的数学就是在研究变化与不变，全部的哲学不也是如此吗。如斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……这跟《道德经》的思想很吻合，《道德经》中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。这个神奇的数列仍然可以印证万事万物变化中蕴含不变的道理，因为这个数列的每一项与后一项的比值的极限值即为黄金比例，这个值的三角形式为。如前所述，黄金比例代表了宇宙中一种极致的美。

（二）数学文化与我们对数学思想的了解

什么是数学文化？谈到数学文化，往往会联想到数学史。宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径。讲数学文化不能仅限于数学史，但是也绝不能脱离数学史。我理解的数学史，应该包括数学的人物史、符号史、危机史、思想史等等。这里我想到了著名数学家柯朗在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。”数学的过度形式化、功利化走了一个极端，到了该回归的时候了。

三、从心理视角观察：一堂好的数学课应该要有艺术味

（一）教学设计的艺术性

课堂教学究竟该怎样设计？很多学校提出了自己的教学模式！如四川省棠湖中学、广州市真光中学、汕头市金山中学、河北省衡水中学。现在比较流行的是高效课堂、翻转课堂以及微课程教学法。对于教学模式的革新，我十分赞同南京师范大学陶维林教授的观点，即教学模式的改变第一个关键在于改变教师的教学行为，教学模式的改变第二个关键在于改变学生的学习方式，而关键的关键是改变教师的教学行为。

1.新的教学模式应遵循的理念和原则

数学教学应真正做到先学后教先做后讲，先学后教是针对知识教学而言的，先做后讲是针对解题教学而言的。具体来说，这种做法应该落实到备课上。我的第一个观点是：提前备好一周的课。我的第二个观点是：上课的的材料要提前交给学生。学生先预习了，习题先做了，上课才能跟得上、效果好，这也是很多名校的经验，导学案不就是这个意思吗？这种做法其实是对传统课堂的颠覆：作业的目的改变了，布置作业由巩固作业为主转变为预习作业为主；此外课堂的目的也改变了，课堂教学由学习新知识转变为解答疑惑、消化吸收为主。

2.新的教学模式可操作的步骤和方法

第一阶段可叫自主生疑，这是课前预习阶段；第二阶段可叫互动解疑，这是课堂消化阶段；第三阶段可叫内化迁疑，这是课后复习阶段。在此过程设计中，最有价值的东西在于一个“疑”字，“学始于疑”嘛！课堂阶段又可分三步实施：第一步为创境设问，这是破题引入阶段；第二步为探究发现，这是支架导学阶段；第三步为拓展引申，我称之为提炼得要阶段。可以这样设计：第一步，先读一读、想一想；第二步，先试一试、议一议；第三步，先说一说、练一练。

3.新的教学模式下师生的角色和地位

改变教师的教学行为以把握教师角色的定位为根本，教师首先应该是一个提问者，其次还是一个答疑者，而不是一个知识的讲授者，更不是一个知识的灌输者；改变学生的学习方式以提高学生的自学能力为根本，新的学习方式首先应该是独立的、自主的，其次还是合作的、分享的。南京师大陶维林教授认为，启发式仍然是最好的教学方法，启发的核心是问题，问题是数学的心脏，课堂上教师的主要任务之一是提问题，以及引导学生提出问题，数学教学应该从问题开始。我很认同陶先生这样的观点。没有问题就没有启发，没有问题就没有互动，课堂就只能是满堂灌，没有高质量的问题，学生的兴趣和激情就不能被激发，教学活动就无法轻松自然的开展。

（二）教师讲授的艺术性

艺术味即包括教学设计的艺术性也包括教师讲授的艺术性，它追求一种艺术之审美，如音乐般和谐、绘画般优雅、建筑般严谨，讲究节奏、韵律、停顿、取舍。讲授的艺术性可以从表达及板书的规范性、情感性、优美性方面做起。

结束语

以上就是我从课堂观察的角度谈对如何上好数学课的理解，或许这种探讨过于肤浅，但确实是我很多年的思考，也是很多年的追求，希望阅读到这篇文章的同行、专家给予批评、指正。值得忧虑的是，我们的教育已偏离其正常轨道，教学是为了考试，教是知识的灌输，学是应试的技能，完全背离了教育是为了培养何种人的根本，学生缺乏对数学中所蕴含之真、善、美的思索、探求、领略，学生对学科的兴趣被扼杀，从而使数学的学习变得困难。记得美国哈佛大学有一句著名的校训，“与柏拉图为友，与亚里士多德为友，更要与真理为友”。反觀应试教育背景下现今我们的教育，还有多少人执着于这样的信念？

[ 参 考 文 献 ]

[1]《数学是什么》（美）R·柯朗H·罗宾.

[2]《数学与哲学》，张景中著.

[3]《数学的精神、思想和方法》，（日）米山国藏著.

[4]《怎样解题》，（美）G.波利亚著，涂泓、冯承天译.

[5]《数学大师：从芝诺到庞加莱》，（美）E·T·贝尔著，徐源译.

[6]《聪明在于勤奋天才在于积累：数学大师华罗庚谈怎样学好数学》，华罗根著.