摘要：为全面提高学生的解题能力，我在近年来的教学实践中，通过有关数学应用题的审题、建模、解模的教学，对学生进行了思维训练的探索，取得了较好效果。

关键词：数学应用问题；审题；建模；解模

一、审题

审题是解答应用问题的起点，只有有效地审题才能准确理解题意，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义，分析已知条件，明确所求的结论，才能把实际问题转化为数学问题。我引导学生用加点划线的方法强调关键性语句，再连续读出来，形成完整的基本问题；也可用划分层次，归纳大意的方法从背景材料中提炼出需要解决的实际问题；或对多个数量进行汇集、归类，借助图形显现出已知量与未知量，体现出需要解决的数学问题；或者用改写的方法对应用问题去掉枝叶，抓住主干，保留题中的数量关系和空间形式。例1：某学生从一塔形建筑物边经过，只见这个建筑物基部以北是一片平坦的空地，建筑物的影子清楚地映在地面上，这位同学想估算一下这座建筑物高度，但身边未带任何测量工具，他忽然想起了自己身高为168厘米，而双脚长度为25厘米。于是他利用这些条件把问题解决了，请你说明这位学生上如何解决这个问题的？（写出估算过程及计算原理）。审题时，不妨先画出关键性语句，它是要求我们利用这位同学身高和双脚长度来求出建筑物的高度。例2：一公司各部门提供如下信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年按2400工时计算。

市场部：预测明年产品销量是10000~12000件。

技术部：该产品平均每件需120工时，每件需4个某种主要部件。

供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这种部件60000个。

请决策：（1）工厂明年生产量至少应多少件？（2）为了减少积压，至多可裁减多少工人用于新品开发？

审题时，仍先画出关键性语句，它实际上告诉我们四个信息：人事部最多提供800名工人，每人每年按2400工时，市场部销量是在10000~12000这个范围，技术部提供了该产品每件需120工时，需4个主要部件，供应部提供了可供某种部件6000~60000个，求明年生产量至少多少件及至多可裁减多少工人转到新品开发。这样就将实际问题转化为数学问题从而培养了学生分析问题的能力，也培养了学生科学严谨的态度。

二、建模

数学模型是指对于客观世界的某一特定现象，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个以数学方式给予表示的数学结构。数学建模就是找出具体课题的数学模型。建立数学模型是解答应用问题的最关键步骤。通过建模培养学生的抽象思维能力。在掌握多种类型的问题特点的基础上将应用问题与数学问题联系起来，从已知的数量关系推理、联想、判断出属于哪类问题。如现实生活中，广泛存在的用料最省、造价最低、利润最大等优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决；产量增长（降低）、存款利率、股市跌涨。等与时间相关问题常通过建立相应的数学模型求解；天体运行轨道，弹道曲线、桥梁形状及航海等问题归于解析几何模型解决。如例1这一问题是把学生带到了没有测量工具测量塔高情景中，要求学生通过阅读理解测量方法，把实际问题抽象出一个几何相似三角形图形，这是一个利用相似三角形解决实际应用问题典型例子。它考查了学生动脑、动手、抽象、概括和解决实际问题的能力。例2是一道设计新颖，包含了等式和不等式的实际问题，它最终可转化为求函数最值问题。它让学生用自己的知识和智慧作出决策，学生面对的不是枯燥、单调的数学，而是活生生的与人的生计息息相关问题，让每个学生都尽可能施展自己的才华，找出合理答案，激发学生的兴趣。这些现实问题的解决有助于培养学生的创新精神和实践能力。

三、解模

在构建数学模型后，就要运用数学知识和方法来解答纯数学问题。解答应用题的过程就是在阅读教材理解题意的基础上，把实际问题抽象转化成数学问题，化繁为简，建立相应的数学模型、再利用数学知识对数学模型进行分析研究，得到数学答案如例1中，要求学生先站在一个与塔影同方向的选定地点，用自己的双脚分别测量出塔影和自己影子长度，然后利用建筑物高度与自己身高之比等于测量出塔影与自己身影长度之比，求出建筑物的高度。例2中建立相应的等式和不等式，确定未知量取值范围，转化成函数问题，运用函数知识的方法来求得最值。找出合理答案：（1）16000件；（2）200人。然后再把数学答案返回到实际问题中去，既渗透了相应数学思想方法，也符合数学课程生活化改革的趋势，这一过程更正是对学生思维训练的过程。