【摘 要】本文通过对高中数学建模教学设计方式的阐述,希望能在数学建模课程的设计上给高中教师以帮助,同时为他人研究高中数学建模的教学设计打下基础。

【关键词】高中 数学 建模教学

前言

数学教学设计是一个系统性的活动,其教学活动一般可以分为三个阶段:第一阶段为简单建模。结合教材,在适当的环节切入数学建模的教学,以应用性问题和研究性课题为突破口,选择一些简单的实例师生共同进行建模。目的是让学生初步体会数学建模的方法,培养学生的数学建模意识。第二阶段为典型案例建模。教师给出问题情境,师生共同分析,将实际问题数学化,让学生亲自参与问题假设、建模、求解、检验及评价的过程。目的是让学生初步掌握建模的常用方法。第三阶段为综合建模,学生以小组为单位完成教师指定的问题(或者让学生自己发现问题),要求学生自己搜集材料,提出假设,解决问题。方法及问题的结果都不唯一。目的是培养学生科学思维方法,提高创新能力。以下每个环节均按这三个阶段来设计。

1、教学对象的分析

1.1第一阶段:简单建模

这是数学建模活动的开始阶段,“学生们中间平均有1/5的同学对数学建模有所了解,但并不深刻,重点中学开展数学建模活动的比例比普通中学稍高,平均多出10%。因此对建模学习的兴趣重点和普通中学相比也是稍高。……不论是在重点或者普通中学都只有20%的同学了解,大部分同学都未曾听说,也没有再书店看到此类相关资料和书籍。尽管如此,学生们对‘数学建模’仍然抱有一定的好奇心和学习兴趣”。由此不难看出,大多数的同学对数学建模还没有什么认识,但是他们对数学建模的学习非常有兴趣,这就为数学建模的学习奠定了比较好的基础。

1.2第二阶段:典型案例建模

要进入这一阶段的教学,对学生有两点要求:1、了解数学建模的概念,2、掌握数学建模的过程(五步建模法)。学生学习的效果对学生的热情有很大的影响,学生们往往对自己做得比较好的领域有更多地兴趣。因此,只有达到了这两个要求才能进入这一阶段的教学,否则会对学生学习数学建模的热情产生负面的影响,进而影响数学建模的教学效果。

1.3第三阶段:综合建模

经历了典型案例建模的积累与磨练,要求学生们不仅能掌握并熟练运用五步建模法,而且要积累大量的数学建模的典型模型,这使他们有能力进行独立活动和解决比较复杂的建模问题。同时,高中阶段的学生性格多数都比较活泼、开朗,喜欢与人交流,小组合作研究的方式会很适合他们。在综合建模阶段,有时候一些比较复杂的问题无法一个人独立完成,与他人合作也成为这一阶段中的必须。因此,这一阶段可以采取竞赛或者课外活动的方式进行,既能保证学生的兴趣、提高学生的能力,又能节约有限的教学时间。

2、教学内容的确定

2.1第一阶段:简单建模

这一阶段的目的是使同学们认识数学建模,会用五步建模法解决简单的问题。故其主要内容包括:①数学建模的含义;②五步建模法;③相关的数学知识。数学建模的含义和五步建模法在绪论中已作论述,故在此只对第三条“相关的数学知识”进行探讨。学生们大部分是初次接触数学建模,问题不宜过于隐蔽,也不宜过于繁琐,最好是稍加分析就可以找到问题的数学背景,然后就能解决的问题。此时可以选择一些比较简单的问题,直接用数学知识就能解决,例如:函数、数列、线性规划、不等式、统计等内容中就可以根据应用题改编来进行简单建模的教学。

2.2第二阶段:典型案例建模

知道了数学建模的一般步骤和方法,自然要开始实践和练习。这一阶段的主要内容就是典型案例的建模方法和完整的建模程序。

这时的问题需要比第一阶段更有深度,但是综合性不宜过强。这就是打基础的阶段,只有先把典型案例建模理解并掌握了,才能进行下一步的综合建模。如果现在就用综合性很强的案例,会使学生感觉接受很困难,从而影响学生学习数学建模的积极性,也不利于下一步综合建模活动的进行。此时的案例可以来源于大学数学建模中的初等模型,或者中学生数学建模竞赛,例如:四足动物身长与体重关系模型、建筑物的震动研究模型、新产品销售模型、土地承包问题、均衡价格与市场稳定模型、不允许缺货的存储问题、代表名额分配问题等。

2.3第三阶段:综合建模

综合建模是数学建模的最高层次和最终目标,需要我们解决实际生活中遇到的真实的问题,它可能会比典型案例建模要复杂一些,与典型案例建模阶段最大的不同在于要求学生能够提出问题并解决问题。这一阶段是无法在课内完成的,主要以数学课外活动的形式出现,解决问题的数学工具也不必局限于中学阶段,只要是学生们能学会并应用的数学工具都可以。问题的来源相应比较广泛,可以是学生们自己在生活中发现的问题,也可以是数学建模竞赛的问题,例如:红绿灯问题、图形剪裁问题、投资决策问题、酒店清洁问题、图书馆添书问题、降落伞开伞问题等。

3、教学方式的选择

3.1第一阶段:简单建模

在简单建模阶段,一般可以选择的教学方式有:讲授式、讲练式、探练式等。根据教学对象的基础和教学内容的难易可以适当调整。

(1)讲授式。其优点是可以节约很多时间,缺点是学生动手参与的机会就少了。

(2)探练式。这种方法可以使学生们充分发挥主观能动性,切实体验数学建模的过程,更好的理解数学建模,但是时间需要的相对多,对学生的要求也相对高。

(3)讲练式。介于前两者之间,首先由教师讲授,然后学生动手操作,既可以节约一些时间,又可以让学生有动手参与的机会。

3.2第二阶段:典型案例建模

有了简单建模的基础,学生们对数学建模和五步建模法已经有了一定的了解,教师可以根据学生的情况,适当放手让学生们去体会探索,这样既能提高学生的学习能力,又能为下一阶段的教学做好铺垫,让学生不至于到自己操作的时候不知所措。可以采取的教学方式主要有:讲授探练式、导学探索式、论文研读式、专题教学式等。

(1)讲授探练式。这是讲授式与探练式的结合。

(2)导学探索式。就是在教师的适当指导下,由学生进行探索式学习。

(3)论文研读式。这是一种课下阅读、课内交流的形式。通过对成品论文的阅读和研究,让学生学习相应案例的建模也是一种不错的教学方式。通过对论文的研读,学生不仅可以学到建模的方法,也可以学习写数学建模论文的方法。

(4)专题教学式。专题式教学就是将相似知识背景或者方法的问题组成一个学习专题来进行学习,如:工程网络图及有关排序问题、初等应用概率、资源分配模型与线性规划等。

3.3第三阶段:综合建模

此时,学生积累了大量的数学建模的典型案例,大可放手让他们自己去做。可采取的教学方式主要有:论文研读式、研究报告式、调查报告式、微型科研式等。

4、实例讲解

例:某工厂生产的一批产品,其中有的产品是次品。问:从中连续抽两次都抽不到次品的概率是多少?(已知产品总数是100件,次品有2件)

解:把次品记为A1、A2,其余产品记为B1、B2、……、B98。

假设每次抽完后还把产品放回,那么:

基本事件为:(A1,A1)、(A1,A2)、…、(A1,B98),(A2,A1)、(A2,A2)、…(A2,B98),……,(B98,A1)、(B98,A2)、…、(B98,B98),总数为100×100;

连续两次抽到非次品所包含的基本事件为:(

B1,B1)、(B1,B2)、…、(B1,B98),(B2,B1)、(B2,B2)、…(B2,B98),……,(B98,B1)、(B98,B2)、…、(B98,B98),个数为98×98。

连续两次都抽到非次品的概率为:

P(连续两次抽到的不是次品)=“连续两次抽到的不是次品”所包含的基本事件的个数/基本事件总数=98×98/(100×100)= 0.9604

分析:这个结论成立的前提是“假设每次抽完后还把产品放回”,如果每次抽完不放回,那么下面的运算都不对了,需要重新修正。

总结:像这样,运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,就是数学建模。具体的说,数学建模就是把现实世界中的实际问题提炼、抽象,做出相应的数学模型,然后求出模型的解,验证模型的合理性,并能用该数学模型的解来解释一类现实问题的过程。数学建模的一般步骤为:

(1)根据对象的实际背景和要求进行“问题分析”;

(2)根据问题分析和建立数学模型的目的作出合理简化的“模型假设”;

(3)在问题分析与模型假设的基础上“建立数学模型”;

(4)选择适当的数学工具“求解数学模型”;

(5)对模型结果进行“模型分析”。如果合乎实际要求就用来解决实际问题;如果不合乎实际要求就回到(2)继续。

结束语

在日常教学中适当的切入数学建模等数学应用问题,可以使学生体会到数学的应用价值,提高数学的学习兴趣。然而,如何进行数学建模的学习,使学生了解数学建模的方法和过程,这便需要教师精心设计数学建模课程。由于绝大多数教师没有数学建模教学的经验,在组织数学建模的教学时难免有些困难。本研究不仅做出了方法上的探索,而且做出了教学设计的案例,希望这些能够给数学建模的教师以及研究者一定的帮助,从而进一步为高中学生的学习打下良好的基础。

参考文献:

[1]王晓辉主编.数学课程与教学论[M].长春:东北师范大学,2005:26

[2]奚定华.数学教学设计[M].上海:华东师范大学,2001:1

[3]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京市法大学出版社,2001.4:159-162

[4]罗爱群.中学数学建模与素质教育[J].福建中学数学,2004,(8)