篇一

　　高中数学概率应用题疑难解答

　　摘要：概率问题与现实生活联系密切，贴近生活。概率在高中数学里也是重要一章，概率应用题在高考中经常出现，所以在平时不但要认真学习这些知识点，还要通过各种案例的分析、研究，来培养我们应用概率的意识和能力。

　　解概率应用题要学会说：首先是记事件，其次是对事件做必要的分析，指出事件的概率类型，包括等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验、对立事件等;然后是列式子、计算，最后别忘了作答。

　　实际运用中，等可能性事件的概率为目标事件的方法数与基本事件的方法数的商，注意区分有放回和不放回;互斥事件的概率为各事件概率的和;相互独立事件的概率为各事件概率的积;若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=cpk(1-p)n-k;若事件A发生的概率是p，则A的对立事件A发生的概率是1-p等。有的同学只会列式子，不会说事件，那就根据你列的式子说：用排列(组合)数相除的是等可能性事件，用概率相加的是互斥事件，用概率相乘的是相互独立事件，用c的是独立重复试验，用1减的是对立事件。来看下面这道题：

　　【例1】 某次网球比赛分四个阶段。只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛。否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分。甲、乙两个网球选手参加了此次比赛，已知甲每个阶段取胜的概率为，乙每个阶段取胜的概率为。

　　(1) 求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率;

　　(2) 设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望。

　　首先分析：此题的事件是甲、乙两人最后积分之和为20 分，其类型有三种情况，

　　①甲得0分、乙得20 分;

　　②甲得10分、乙得10 分;

　　③甲得20分、乙得0 分。

　　因此，在解答此题时就从这三种情况着手。具体解答如下：

　　解：(1)设甲、乙两人最后积分之和为20 分为事件A，甲得0分、乙得20 分为事件B，甲得10分、乙得10 分为事件C，甲得20分、乙得0 分为事件D，

　　所以X的分布列为：

　　在解题过程中，要准确理解题意，吃透其中的关键词，如：至多、至少、只有、不全是、否则、全不是等;要能读出题目的言下之意，这样不会误打误撞。

　　【例2】 正四面体的各顶点为A1，A2，A3，A4，进入某顶点的动点 X不停留在同一个顶点上，每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动。n秒后X在Ai(i=1，2，3，4)的概率用Pi(n)(n=0，1，2)表示。当P1(0)=，P2(0)=，P3(0)=，P4(0)=时，

　　(1)求P2(1)，P2(2); (2)求P2(n)与P2(n-1)的关系(n缀N*)

　　(3)求P2(n)关于n的表达式， (4)求P1(n)关于n的表达式

　　解析：P2(1)即1秒后动点在A2的概率，它有三种情况;

　　①开始时(0秒)在A1，1秒后移动到A2;由题意知，每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为;所以这种情况的概率为：

　　P1(0)=;

　　②开始时在A3，1秒后移动到A2;其概率为：

　　P3(0)=;

　　③开始时在A4，1秒后移动到A2;其概率为：

　　P4(0)=;

　　又这种情况互斥，P2(1)=++=。我们设想一下，如果仍然按这个办法计算P2(2)，将不胜其烦，因为首先要算P1(1)、P3(1)、P4(1);事实上1秒后动点在A2，即开始时(0秒)动点不在A2，其概率为：1-P2(0)=，而每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为;所以P2(1)==。类似的，2秒后动点在A2，即1秒后动点不在A2，其概率为：1-P2(1)=，P2(2)==;n秒后动点在A2，即n-1秒后动点不在A2，其概率为：1-P2(n-1)，P2(n)=[1-P2(n-1)]。至此，问题化归为数列问题。即：已知数列{P2(n)}满足：P2(n)=-P2(n-1)+，求通项公式。用待定系数法构造等比数列，设P2(n)+x=-[P2(n-1)+x]，得x=-，可见

　　数列{P2(n)-}是以-为公比的等比数列，其首项为P2(1)-=-

　　P2(n)-=-(-)n-1，P2(n)=-(-)n-1。

　　完全类似地，可得P1(n)=-P1(n-1)+，于是有P1(n)-=-[P1(n-1)-]

　　但P1(1)-=0，数列{P1(n)}是常数列，即P1(n)=。

　　上题的关键是：第n秒后动点在某一顶点即意味着第n-1秒后动点不在该顶点，由此反映出它们的概率之间的关系正是数列的前后项之间的关系即递推关系，于是从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的办法进行解决。

　　通过对以上案例的研究表明，概率在生活中的运用非常广泛，在高考试卷中，概率应用题在内容的设置上也有了更大的灵活性，它往往与其他知识面交集在一起，如概率与函数、概率与方程、概率与数列、概率与线性规划等相结合的应用。所以我们在平时的学习中，一定要把各个知识点学扎实，这样在做概率题时，才能够得心应手。