摘 要：数学课堂上，经常出现这样的场景：学生面对某道几何解答题抓耳挠腮却又手足无措时，这时候老师蜻蜓点水般地做了一条辅助线，整道题突然变得明朗起来，学生会惊呼“原来是这样”。而这样的惊叹往往还发生在教师运用赋特值法解客观题的时候。

关键词：特殊与一般;思维能力;数学

美国数学教育家乔治·波利亚认为：“一般化、特殊化和类比是获得发现的伟大源泉。”特殊与一般是初中数学的基本思想，特殊性包含着一般性，一般性寓于特殊性之中。运用特殊与一般思想解题，关键在于分析特例，探寻规律;利用并推广特例，启迪学生思考，提升学生思维能力。下面和大家一起分享笔者在初三复习课堂教学实践中的几个案例，体会特殊与一般思想对分析问题和解决问题带来的帮助。

一、特殊包含着一般

例1.（2017福建省中考题）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n-1），且，则0

A.3  B.4  C.5  D.6

示范解析：本题旨在通过一次函数、方程（组），不等式等核心知识的运用，考查学生的探究能力，运算能力。一般的作法就是将两个特殊点代入联立组成方程组，但后续对方程组要进行观察，消参，运算，不是每个学生都能做到的。而特殊化思想就是要把研究对象或问题从原有范围缩到较小范围或个别情形进行考查的思维方法。在解决这类问题时，如果能有效利用“特殊”工具：赋特殊值，取特殊点，考虑特殊位置等，往往能把问题简单化，这也是我们思考这类问题常用的方法。本题中，根据条件0

答案：C。

二、一般寓于特殊之中

例2.（2018厦门市质检题）已知a，b，c都是实数，则关于三个不等式：a>b，a>b+c，c<0的逻辑关系的表述，下列正确的是（ ）

A.因为a>b+c，所以a>b，c<0

B.因为a>b+c，c<0，所以a>b

C.因为a>b，a>b+c，所以c<0

D.因為a>b，c<0，所以a>b+c

示范解析：本题旨在通过不等式，不等式的基本性质等核心知识的运用，考查学生的逻辑推理能力、归纳猜想能力。从一个或几个特例归纳出一般结果猜想，这是探索发现新知的重要手段。归纳猜想题往往给定一些数、式、图形等，以一般的式推理内在的特殊逻辑关系。在中考中也较为常见，要求学生根据题目条件进行分析归纳，发现变化趋势，猜测可能的相关结论，若有需要可以进行验证或证明。

本题中三个不等关系之间内在的因果关系是待确定的，这种情况下要明确它们三者之间的充分必要关系就要进行严谨的逻辑推理，哪怕是学习水平较好的学生也不见得能严格证明。对于选择题，要检验一般性的结论是否正确，只要通过验证特殊情况是否满足要求来判断结论正确与否，从而使问题的解决达到事半功倍的效果。a，b，c都是实数，选项中的逻辑推理只要能举出一个反例即可以说明它是错误的。比如A选项，a=0，b=1，c=-2，符合题设，但不符合结论，即可排除。同样的方法也可以排除B、C选项。

答案：D。

三、特殊与一般相融

例3.（2018漳州市质检题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（与点O不重合），作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BD于H，连接OG，CG.

示范解析：本题旨在通过正方形的性质与判定，三角形相似的性质和判定等核心知识的运用，考查学生的探究能力、运算能力、推理论证能力等等。数学课程标准指出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。从特殊逐步引向一般，是科学研究与发现的一般方法。

挖掘题目本身的许多特殊：正方形是特殊的图形，可以有AB=BC，∠ABD=∠BCA=45°，∠ABC=90°，根据同角的余角相等得∠BAH=∠CBE，从而利用全等也就证得第（1）问的结论;特殊的点，点E为OC上动点，将点E特殊化，当点E满足AE=AB时，△ABE是等腰三角形，加上AG⊥BE，就有“三线合一”，进而得到一些角的特殊度数，再根据三角形内角和180°算出∠AGO为45°。最后根据这个结论再进行严格的推理证明。这样以特殊问题为起点，进行归纳、概括，寻求解决一般问题的方法和规律，第（2）问也就变得有了思路和方向;特殊的基本模型，题目中Rt△ABF中BG⊥AF，出现了特殊的“子母型”相似，△ABH和△OGH属于“反8型”相似等等，认识到这种种特殊，以及利用这些特殊带来的性质，求解问题（3）也会变得容易些。

四、教学反思

1.重温知识，建构整体

特殊与一般是数学的基本思想方法，一些数学概念、定理等都蕴含着特殊与一般思想。从数的角度理解，一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），而这个等式中包含着无数组对应的特殊和的值。从形的角度理解，一般的直线就是由无数多个特殊的点组成的。例1中题设给出直线过点，由一般做法就可以完成点在线上就代入得到方程组，再对值特殊化，从而问题得到解决。例2中，不等式的基本性质这个一般性的结论得来较为抽象，也蕴含着不完全归纳法，而反过来想说明一个结论不成立却只需要举出一个反例即可，选项通过赋特殊值的方法即可以进行排除选择。在教学过程中，要关注知识之间的联系，对知识体系进行完整的分析和研究，理清知识脉络，帮助学生建构良好的认知结构。在概念、法则、定理的新知教学时，引导学生去读并读懂隐含的关键字词，掌握其内在规律，为分析问题，解决问题打好基础。

2.提炼策略，提升能力

在数学解题过程中，特殊与一般思想往往能启迪我们，找到打开未知大门的钥匙。在例3的解决过程中，我们可以体会到特殊化使得问题变得容易，当结论没有方向，要引导学生多探究，退到特殊情形，找到问题的切入点，发现隐藏的规律，从特殊到一般又从一般到特殊，逐步使得学生思维从感性思维提升到理性思维。而“以退为进”是一种智慧，也是一种策略。华罗庚曾说“退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。”比如勾股定理逆定理的证明，“同一法”是很难想到和理解的，但如果先借用几组特殊的数据画直角三角形和一般三角形，再经历拼、叠的过程，可以引导学生逐步过渡到一般性的证明。教学中，渗透特殊与一般思想，学生掌握策略的过程中，也在感受思维之美，提升能力。

数学思想方法的形成存在于知识的发生过程，存在于数学的解题过程，存在于解题之后的反思中。教学中应不失时机地向学生提供良好的探究环境，提供典型的材料，适时地渗透特殊与一般思想，让学生将这种思想贯穿到整个学习过程中，变成一种自觉行为。

参考文献：

[1]刘志昂.转化思想[J].中学数学教学参考，2018.

[2]叶红.特殊与一般思想[J].中学数学教学参考，2018.

编辑 刘瑞彬