摘要：现代教育注重培养学生应用数学的意识和能力，建模能力则是初中学生数学能力的重要组成部分。在教学过程中，激发学生学习数学的兴趣是培养学生建模能力的关键，培养学生的抽象和概括能力是培养建模能力的基础，培养学生的创新能力是培养建模能力的核心，在建模教学中结合专题讲座与建模法研究，通过讨论、分析和研究一些具体的数学模型是培养学生建模能力的重要途径，评价是培养学生建模能力的有效方法和手段。

关键词：数学建模；建模能力；初探

随着社会的发展，数学的应用越来越广泛，作用越来越大，不但应用于科学计算，而且渗透到经济、军事、管理以至于自然科学和社会科学的各领域。社会对数学的需求不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，更大量的是需要从事实际工作的人运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，以取得经济效益和社会效益。通过对实际问题的分析、抽象，建立数学模型，解决实际问题，是各行业、各领域大量需要的，也是我们的学生走上工作岗位后常常要做的工作，社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。以前的基础教育在数学教育中对学生的抽象思维能力、建模能力、应用能力等数学素质的培养滞后于社会的发展。社会的需求催生了课改，也为课改提供了动力，新一轮的课改重视对学生建模能力的培养，因此数学教育工作者，在教学过程中要有计划、有步聚地培养学生的建模能力和解决实际问题的能力，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

一、数学模型的概念及种类

著名数学家艾尔弗雷德·诺思·怀特海曾说“数学就是对于模式的研究”。所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的；各种数学公式、方程式、定理等等，都是一些具体的数学模型。数学建模则是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的应用过程。我们的数学教学说到底就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和构建模型的思想方法，使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。数学建模是学习数学的一种有效的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，增强应用意识，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

建立一个数学模型解决实际问题的一般过程是：审题——建模——求模——验证。首先要审题，明确题意，理顺数量关系，理解问题的实际背景；其次选取基本变量，将有关的数量关系借助于数学符号、语言抽象概括成一个数学模型；再次，应用数学知识和方法求解数学模型，得到数学结论；最后，把求得的数学结论回归到实际问题中去，分析、判断结论的真伪，解决实际问题。

初中数学建模是建模的初级阶段，主要的数学模型有以下几种类型：

1、方程型

初中数学体系中，方程型数学模型有一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程。方程型数学模型是最重要最基础的数学模型，现实生活中大多数数量之间的相等关系都可通过建立方程型数学模型加以解决。我国古代的算书《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”就是比较典型的利用方程型数学模型求解的数学问题。

2、不等式型

不等式型数学模型也是一种重要的数学模型，它与函数联系紧密。从近几年各地的中考试题看，可通过建立不等式型数学模型求解的试题出现的频率越来越高，试题的类型也日渐丰富，这类试题与现实生活密切联系，要求学生有较强的综合能力和严密的逻辑思维能力，有很强的选拔功能。

3、函数型

函数型数学模型主要包括一次函数和二次函数，北师大版初中《数学》教材对函数知识的编排由浅入深、螺旋上升，更符合学生的认知特点，同时也提高了对函数的要求。函数与现实生活密切联系，常见的最优化问题如最佳投资、最小成本等，常常化归为函数型数学模型，通过建立相应的目标函数，根據变量的限制条件，利用函数的最值问题求解。

4、几何型

几何型数学模型也是一种非常重要的数学模型，涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、测量等，常需建立相应的几何型数学模型，应用几何知识，利用方程、不等式、函数等知识求解。几何入门后，求两地之间的距离是常见的几何问题。例如有一池塘，要测量池塘的两端AB的距离，直接测量有障碍，用什么方法测出AB的长度？对于这个问题，随着学习的深入，有多种建模求解的方法。

建模一：构造直角三角形，运用勾股定理解决问题，求出AB。

建模二：构造等腰三角形或等边三角形，求出AB。

建模三：构造三角形及其中位线，利用中位线的性质求出AB。

建模四：构造全等或相似三角形求出AB。

二、建模能力对学生的重要性

中学阶段的数学建模活动可以使学生多方面受益，1994-1998年度世界数学联盟主席D.Mumford在1998年论述现代数学发展趋势时说：“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义，我想承认这一点，数学会从中受益”。结合教学实践，笔者认为学生的收获主要表现在以下方面：一是学习、掌握基本数学思维方法，学习如何应用科学方法解决问题；二是进一步认识数学的价值，增强学习兴趣；三是提高学生用数学知识解决问题的能力进而增强学生的创新和实践能力。数学建模过程有较大的灵活性，没有现成的模式或通式，对同一个问题，从不同角度，不同要求出发可以建立不同的模型。通过数学建模可以为学生提供一个自主学习，独立思考的机会，使学生从不同的角度窥探出事物的本质特征，因此数学建模也是培养学生发散思维的一条重要途径。

三、怎样培养学生的建模能力

现代教育注重培养学生应用数学的意识和能力，而学习数学建模的过程正是帮助学生学会用数学的思想、方法、语言来表达、描述和解决实际问题的过程。在建模活动中，学生运用所学知识，通过观察分析，提炼出实际问题的数学模型，不但可以使学生在知识、技能、方法、情感、态度等方面获得全方位的发展，而且可以锻炼他们克服困难的意志，如何培养学生的建模能力呢？

教师素质的高低，直接影响着对学生建模能力的培养。为了培养学生的建模能力，中学数学教师应首先提高自己的建模能力。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。实际教学工作中，教师必须牢固树立以“学生发展为本”的思想，关注数学科学的发展动态，不断学习新的数学建模理论，加强自身修养，提高自身业务水平，努力钻研培养学生建模能力的方法。

激发学生学习数学的兴趣是培养学生建模能力的关键。学习兴趣是一种力求认识世界、渴望获得知识和不断探求真理而带有情绪色彩的意识倾向。俄国教育家乌申斯基指出：“没有任何兴趣的强制性学习将会扼杀学生掌握知识的意愿。”要想让学生学到东西，学生自己得渴望学习，而不是要老师逼着学。要不断的激起学生的学习欲望，激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的学习。美国著名教育家沃德曾说：“平庸的老师传达知识；水平一般的老师解释知识；好的老师演示知识；伟大的老师激励学生去学习知识。”在数学建模教学中，很多例题与现实生活联系密切，教师要善于抓住这个有利条件，充分展现数学的应用价值，创设学生感兴趣的问题情景，激发学生的求知欲。另外培养学生建模兴趣的途径之一是从一些学生容易下手的实际问题出发，让他获得成功的体验，享受成功的喜悦，使学生觉得“数学建模”我也行，逐步培养他们的建模能力。

培养学生的抽象和概括能力是培养建模能力的基础。学生的抽象和概括能力是有层次的、逐步深入的。随着年龄的增长，学生的思维逐步从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。初中阶段的数学建模需要学生有较强的抽象和逻辑思维能力，数学教学中，教师应根据学生思维发展水平调整自己的教学，使教学内容与学生的“最近发展区”相匹配。另外，知识的呈现要有利于学生发现事物的本质属性和内在规律，在此基础上，引导学生通过归纳、推理、猜想等手段，抽取出事物的本质属性和特征，并将这些特征推广到同类事物中去，达到培养学生抽象和概括能力的目的。在概括过程中，要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识全面、深刻的认识。

培养学生的创新能力是培养建模能力的核心。建模能力从本质上说是一种创新能力。数学建模要经过审题——建模——求模——验证等程序，需要运用观察、比较、分析、综合、抽象、概括等基本思维方法，最大限度地利用已有的数学知识，抽象出实际问题中的数学信息，建立相应的数学模型，从而找到解决实际问题的方法。其实质是要让学生通过自己的概括活动，“构造”出问题的数学模型，探究和发现数学的规律。模型的构造并不是一件容易的事，它是在原有问题上的创新，它要求学生创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。通过数学建模的训练，可以使学生领会数学思维的规律和方法，提高思维品质，在一定程度上优化学生的思维结构，因此在培养学生的建模能力的过程中要重点培养学生的创新能力。

在建模教学中结合专题讲座与建模法研究，通过讨论、分析和研究一些具体的数学模型是培养学生建模能力的重要途径。中学阶段，常用的建模方法有“代数建模法”和“图解建模法”，这两种建模方法都可采用机理分析及统计分析两种方法。著名的“格尼斯堡七桥问题”就是在机理分析的基础上利用“图解建模法”建模并解决问题的一个有名的例子。18世纪的欧洲有一个风景秀丽的小城格尼斯堡，那里有七座桥，居民经常沿河过桥散步，到两岸、河心岛、半岛上一览风光（如图1），有好事者提出了这样一个问题：一个散步者怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？这个问题看起来似乎不难，但是谁也解决不了这个问题。最后，这个难题摆到了彼得堡科学院的欧拉教授面前，欧拉教授利用“图解建模法”把七桥问题进行了数学抽象（如图2）。他把4块陆地看作4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化成能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题。于是很快就得出了答案，那种不重复的路线根本就不存在。数学建模活动既具有一定的理论性又具有很强的实践性，通过分析和研究一些具体的数学建模的方法，向学生介绍一些数学建模的重要思想，能促使学生掌握建模的基本方法，进而培养学生的建模能力。

评价是培养学生建模能力的有效方法和手段，要重视和加强对学生建模过程和结果的评价。对学生建模过程和结果的评价能为学生了解自己建模过程和结果的优劣提供直接的反馈信息，肯定的评价可以进一步激发学生建模的积极性，提高建模的兴趣。否定的评价可以帮助学生看到自己的差距，找出错误及其“症结”之所在，以便在教师的指导下“对症下药”，及时纠正，提高学生的建模能力。对学生建模过程和结果的评价应关注以下几个方面：创新性，问题的提出和解决的方案有新意。合理性，建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理。有效性，建模的结果能解决一定的实际问题。教师的评价要具有客观性和指导性。客观性指要实事求是地对学生的建模过程和结果加以评价，不带主观性。指导性指评价应在指出学生的长处、不足的基础上提出建设性意见，使学生能够发扬优点、克服缺点，不断前进。

总之，要真正培养学生的建模能力，光凭传授知识是远远不够的，在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维為出发点，引导学生自主活动，提高学生的建模意识和能力。只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的建模能力，使学生学到有用的数学，促进学生的发展。

参考文献：

[1]方道元，韦明俊：数学建模：方法导引与案例分析，浙江大学出版社2011年

[2]姜启源，谢金星，叶俊：数学模型（第4版），高等教育出版社2011年

[3]马莉：MATLAB 数学实验与建模，清华大学出版社2010年