思想的理解，推动数学的教学”这一观念中，探究数学的实质到底是什么。在隐喻的角度下，数学代表一个隐喻网络。数学的隐喻网络是以基础隐喻（grounding metaphor）与连接隐喻（linking metaphor）这两种形式的隐喻结合形成的。那么这两种隐喻又有什么含义呢？研究者按照隐喻和数学的联系对两者进行了区别：基础隐喻把数学之外的源域，比如实物和数学中的靶域相结合，而连接隐喻中则将多个源域和靶域都列入数学范围中，其只是在数学研究中的不同分支方向进行了性质交换。“容器”这个意象图式（image schema）能够成为了解其他更加抽象的抽象理念（比如函数的定义域）的源域，并在此基础上产生了基础隐喻——“定义域是盛着点的容器”（见图 1）。

连接隐喻如“一重积分是面积”，它是把归于数学中不同方面的微积分（积分）与平面几何（面积）相连接。又如“数学是建筑”，表达了数学是这样一个科目：必须要了解足够的基础知识，才能进行进一步学习。此时，“数学是建筑”这个隐喻的映射源域是“建筑必须有好的基础，才能一层一层向上建筑”。诚然，很多人也能够使用完全不相同的隐喻表达（metaphor expressions）来理解这个隐喻，比如建筑中的门窗、建筑内的装饰等的隐喻含义。因此，隐喻含有独特和系统组合的二重性（unitary-systemic duality）。一方面，隐喻的形式单一（“A是B”）；而另一方面，隐喻的表达方式却有很多，隐喻为人们提供了一个实践系统，使人们能够借助源域来进一步了解靶域（见图2）。

二、隐喻的数学观反思

不同时期的研究者从不同的方向对数学的含义提出了不同的理念与观点。比如在学者提出的“斑驳混杂的数学”中，就认为数学具有多样化的含义，其指出数学是一个有组织的知识系统、数学家从事的行业、一个科目、一个多元化的文化、一种语言、在不同场合可以使用的概念工具等。同时还有学者认为数学的名称（mathematics）就具有不确定性，因为它是一个复数词语，但被用来表达了一个单独的实体。隐喻中的数学观，是从一个独特的經验理论，与系统理论组成的角度，表达了数学的实质和内在的规律。但是它同时也有着很多疑问，其中以对身体隐喻的数学观的反思最有代表性。

首先，隐喻的数学观认为，“任何人类活动，包括做数学与学数学的实质都是人的身体运动”，比如“化简代数方程是一种身体运动”，支撑化简代数方程的最初含义就是设定在身体运动基础上的，当身体双手向上平托称盘时感知到的感知就是平衡感，解方程的操作只有当他们在均衡的两端做出相同行为，即双方保持统一时才有效。而针对这一观点，学者Ernest却产生了质疑，其认为相同性判断并不能根据字面意义进行判断，数学活动应该被当作是符号系统内部的记号运算。符号系统是由三个环节构成的：一个符号集、一套符号的运用和产生规律、一个潜在的意义构架来组合这些符号与规则之中的关联。因此，对于一个初等代数的符号系统，平衡隐喻表现在支撑符号“=”的意义以及操作规则的意义结构（比如反身性、对称性、传递性） 之中，而不是平衡的身体隐喻。隐喻在数学中的地位与更广泛的意义，应该在潜在意义构架中被认可，而潜在意义构架自身就是一个自成的网络系统。

其次，因为基础隐喻（见图3）往往被形象地当作是支持整个数学概念（意义）系统的隐喻腿（metaphor leg），而身体隐喻属于基础隐喻中的领域（它把数学外的身体感受与活动形式和数学概念以及意义结合起来）。因此隐喻的数学观认为表达身体隐喻是基本型，它能够成为数学领域中其他意义形式的衍生基础。

最后，有研究学者对于隐喻能够为更加成熟的概念提供理论基础的相关观点提出了批评。他们认为隐喻不够准确，不够可靠，依赖隐喻是心灵偷懒的体现。比如学者Bachelard Gaston把常识性心灵对直观形象的依赖当作是产生认知论障碍的原因。这些理论普遍存在没有准确定下约束标准，而只是在潜隐的假设、认知或者知觉习性层次进行操作的问题。同时还有研究指出，隐喻派生的不成熟的观点，很可能会导致对数学概念的错误理解。比如郜舒竹等（2011）发现数学术语中，通常是用词语的一般日常意义隐喻其数学意义，这种隐喻存在指称对象模糊或变异等隐喻歧义的现象。

三、隐喻的数学教育观

（一）隐喻的数学教育目的观

在隐喻观念下，数学教育的目标就是改变数学传统的严肃、封闭印象，培养并提高学生对数学的想象力以及理解力，让每个学生都能够利用了解的事物、熟悉的情景、已有的经验来亲近数学，能够利用普遍关联的概念、态度以及方式，来观察与处理在实际生活中的数量关系和空间形实的相关问题；让教师能够借助隐喻，深入了解学生的很多数学问题以及产生问题的根本原因，同时也能够进一步了解学生对于数学的情感观念、价值观念，进而改进自身的教学方式。

（二）隐喻的数学教育方法

首先，教师不要一下子引入太多的隐喻，如此可能会让学生对它们感到混乱。但是，在一门科目或者一个阶段的教学中，教师应该确保使用一定的隐喻进行教学，这些隐喻要经过挑选，使用学生理解的源域，并且隐喻要能够正确地体现出靶域结构。如果使用得当，概念隐喻甚至能够达到无意识和自动化的程度。但是在这之前，学生需要对它有足够的经验。教师可以提供活动、形象、模型以及解释来促成学生对隐喻的理解与运用。

其次，教师在教学过程中应该注意隐喻广泛地存在于词、句、篇的层面上。词汇是语言表达的基本单位，而隐喻是词汇形成和扩展的重要方式。基于隐喻来学习定义，有利于学生对定义、定理含义深刻而系统的理解。对渗透在定理中的原理等表达方式中的隐喻的关注，将有利于学生准确地把握定理所描写和说明的规律，理解数学知识。

（三）隐喻的数学教育观反思

从上述的分析中我们可以看出，隐喻的数学教育观应该能够被认为是社会构建主义的数学教育观。虽然社会构建主义的数学教育观将数学学习或意义的获得当成是我们自身构建的过程，但是它更加重视社会性的客观知识在个体主观知识建构中的媒介功能，更加注重社会的微观与宏观背景与自我的内部建构之间的互相作用，并且认为它们是不能够分开的、有规律进行的、彼此影响、统一的社会过程。隐喻的数学教育观，是一种社会构建主义的教育观，它要求人们在数学知识的产生与社会构建的过程中理解数学教育。隐喻是联结社会性客观知识与个体主观知识的纽带，用隐喻作为媒介的数学教育，能够为客观知识和主观知识之间、主观知识和主观知识之间提供一个沟通与联系的平台。

需要特别注意的是，隐喻的数学教育与数学是密不可分的。在隐喻观点中，人们会产生对数学研究本质、数学隐喻系统的深入理解，而这些数学认识将有助于打破数学教育的壁垒，从而更加有效地推动数学研究的开放性发展。同时，这些理论认识让教学的目的更加明确，也会对我们建构数学和个人体验、生活情景的普遍关联产生很大的影响，使我们重视数学沟通和分享教育方式的选择。

当然，除了数学观之外，还有很多因素影响着隐喻的数学教育观，比如广泛存在的社会文化心态、主流社会价值取向、传统的教育思想等，都会给数学教育价值观产生很大的影响。但是这并不能否认隐喻的教学观在数学教育中具有的重要联系。

隐喻可以看成是一把双刃剑，尤其是隐喻这个特别的、想象的结构很可能会在数学教育中被滥用。它和传统的教学方式相比，需要研究学者给予更多的关注，投入更多的时间。另外，针对隐喻在数学教育中的影响，尤其是到底是“先隐喻后理解”还是“先理解后隐喻”还存在着较多疑惑。学习者不一定能把不同的表象方式整合为一个唯一的核心概念。也有研究指出学生总是不能很好地把相同的概念的不同特点结合起来。如Hart（1989）研究发现，虽然学者们可能会看到隐喻连接不同的活动，孩子们却常常把隐喻连接的两个活动看作无关的、具有独立的意义和程序规则的活动，这很可能是不重视不同表征间的联系和共同结构的糟糕的教学计划所导致的后果，但这也可能归咎于一个更为深层的问题，即为学习者提供两种人们认为拥有共同结构的表征，并期待学习者发现这两个表征之间的联系，特别是在当其中一个表征更加抽象而另一个表征更具体，这可能犯了期待学习者提前去使用他们仍在构建过程中的抽象概念的错误。也许直到这个观念已经在脑海中形成，人们才能够看到作为一个抽象概念的隐喻的具体情形。如果是这样，那么在数学教育中使用隐喻的建构素材就存在严重的缺陷。

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