实数是初中数学重要的知识点,其中渗透着丰富的数学思想。在解实数问题时,若能把握其中的数学思想方法,则可使解题思路开阔,方法简便快捷。下面归纳一下实数中的七种数学思想。

一、转化思想

所谓转化思想,就是把所要解决的较难的问题化为另一个较易解决的问题。也就是把“新知识”转化为“旧知识”,把“复杂”转化为“简单”,把“陌生”转化为“熟悉”,把“未知”转化为“已知”。

二、分类讨论思想

当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后分别研究每一类,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。这种解决问题的思想就是分类讨论思想。

例2已知x=2,y=3,xy<0,则x+y的值等于()。

A.5或-5B.1或-1C.5或1D.-5或-1

解析 由x=2,y=3,可知x=±2,y=±3。又xy<0,说明x、y异号。故其和x+y的值应分两种情况来考虑。

(1)当x>0,y<0时,x+y=2-3=-1;

(2)当x<0,y>0时,x+y=3-2=1。

所以x+y=±1。故答案应选B。

小结 按照不同的分类标准,实数有一些不同的分类方法,而且不同的分类方法各有所长。但分类时都要做到不重不漏。

三、归纳猜想思想

归纳猜想是解决规律性问题时要用到的重要的数学思想方法。在实数问题中经常会出现一些规律性的题目,需要我们从特殊的情况入手进行探索、猜想、归纳。

例3 比较下面四个算式结果的大小(在横线上填“<”,“>”,“=”)。

并要求通过观察归纳写出反映这种规律的一般结论。

解析 横线上填写的大小关系分别是:>,>,>,=。

一般结论是:如果a、b是两个实数,则有a2+b2≥2ab,且当a=b时取等号。

小结 观察是思维的前提,归纳是思维的升华,这是学习数学的重要思想方法。在近年的一些中考题中,归纳数的排列规律、图形摆放规律等,都要用到观察归纳的思想。

四、特殊到一般的思想

各种特殊情况往往包含着一般性的规律,我们可通过研究特殊情况时问题的答案或解法,然后猜想、归纳出一般性的规律,并把这个规律运用到一般情况中。例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根,从而归纳、总结出平方根、立方根的性质。

小结 “数”与“形”是对立统一的,学习实数与数轴后,把数与形结合起来解决问题,可以起到直观准确的作用。弄清数形互译的意义是解此类题的关键。

六、类比思想

类比思想是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。

例6 通过阅读所得的启示回答问题(阅读中的结论可以直接使用)。

阅读:在直线上有n个不同的点,则此图中共有多少条线段?

分析:通过画图尝试,得表格

问题:某学校初三年级共8个班举行辩论赛,规定进行单循环赛(每两班之间一场),问:该初三年级的辩论赛共有多少场次?