摘要： 本文从数学文化这一视角，对高中数学课程设计提供了三个方面的观点，即时代背景、数学思想、数学家故事，并以《圆锥曲线》一章为个案，依据高中教材的特点，对数学思想史在高中课程中的编写和渗透，提出了与素质教育和创新教育相契合的观点和看法。

关键词： 文化背景 数学文化 数形结合 数学家轶事

今天，数学作为一种文化的观念已得到较为广泛的认同，1998年，国际数学家联盟（IMC）主席D.B芒福德在柏林国际数学家大会开幕式致词时，表达了数学作为一种文化的看法，他说：“我们在向世界解释什么是数学或论述数学的正当地位时，通常会举一些重大发明的实例，以指明若无数学的帮助，它们是不会出现的，但是把数学孤立在这种基座上的观念过于狭隘，有一种更广泛的社会基础的观点：数学和数学家深深地根植于人类的文化中。”数学思想作为数学文化的重要组成部分，在中学数学教学中成为值得关注的亮点。

高中新课程理念所倡导的“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，在大众教育已经深入人心，教育改革不断深化之际，挖掘数学教育的文化价值，使之更好地为数学教学服务成为当务之急。

以下以圆锥曲线的教学为例，对这一问题进行探讨。

圆锥曲线作为平面解析几何的重要组成部分，在高中数学课程中，其严密的逻辑体系堪称经典。如何让学生了解圆锥曲线发展的历史和解析几何所蕴含的数学思想呢？这需要我们根据中学生的特点，选择适当的内容，在原有课程内容的基础上，去添加、整合，让现行的高中教材更丰富、深动，使之散发出理性和人文的光辉。

我想大致从三个方面，即数学家故事、解析几何思想和解析几何的时代背景等几个方面和不同视角，向学生渗透解析几何的文化内涵。在圆锥曲线的开始部分，让学生了解解析几何产生的时代背景和数学思想，在这一章的最后，加入费马和笛卡尔两位数学家的故事，前后呼应，使教材在数学的历史长卷中，呈现出丰富性、立体性和文化性。

一、解析几何思想文化透析

（一）数形结合的思想。

1.数形结合是中国传统数学的基本思想与方法

在中国传统数学中，本质上并不存在代数与几何的严格区分，在绝大多数场合，二者是结合在一起的，中国传统数学从《九章算术》到宋元数学，惯于用代数学方法解决几何问题，即“几何代数化”。

从刘徽对开元术的几何解释，到王孝通《缉古算经》中三次方程的几何意义、一般高次方程的几何来源等，都是“代数几何化”的表征。［１］

解析几何最早又称为坐标几何，是由17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的，这两位数学家敏锐地看到了欧氏几何的局限性，认识到利用代数方法研究几何问题，是改变传统方法的有效途径，开始了各自的研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起，奠定了坐标研究几何的基础。［４］由此，有必要在一章的开首，让学生了解到解析几何研究问题的方法及其基本的思想渊源。

（二）转换的思想与数学的人文美。

我认为在圆锥曲线一章，体现了以下两种数学转换的思想，而这两种思想在解决数学问题和实际问题中，都有着广泛的应用。一方面是从常量到变量的数学思想。人们普遍认为，从古到今，整个数学的发展，大体可以分为五个时期：数学荫芽时期，初等数学时期，变量数学时期，近代数学时期，现代数学时期。解析几何实际上是初等数学向近代数学过渡的时期，因为变数的引进，是数的一个转折点，它把整个数学从一个低级阶段推向了更高的发展阶段，有了变数，才有了后来的微积分。［２］另一方面是坐标系和曲线方程的思想。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助于这种坐标，在平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立起一一对应的关系，以这种方式可以将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题归结为代数问题。反之，通过对代数问题的研究，发展新的几何问题。［３］比如笛卡尔在这一思想基础之上，提出曲线的次数与坐标轴的选择无关，坐标轴的选取应使曲线方程尽量简单，利用曲线的方程表示来求两条曲线的不同交点，以及曲线的分类等。让学生体会到数学上任何独特的创意，都有可能导致一种数学的分支和为数学问题提供更好的解决方式。这一点，最好在教学过程中，不断让学生认识到数学转换的思想为我们带来的数学的本真、简洁和优美。

二、解析几何时代背景的文化设计

让高中生了解解析几何所处的时代背景，可以培养学生站在当时的社会、文化、历史和现实的基础之上，客观辩证地看待数学发展的进程，从中了解到更多科学家为解析几何所做的漫长工作，对数学的科学性和数学本质真正产生尊重和兴趣。我认为可从以下三个方面切入，即欧州文艺复兴这个大的背景，两个重要数学家为之所做的工作，以及解析几何自身的局限性。这部分内容，放在这一章的最后，以通俗易读的方式呈现给学生，以加深学生对平面解析几何的整体把握，养成深厚的数学素养。

（一）欧州文艺复兴卷起的狂飙，创造出了资产阶级的新文化。

欧州文艺复兴时期在文学、绘画、音乐、建筑、天文学等领域成就卓著，理性之花，硕果累累。［４］从以下罗列的部分数学方面的重要发现，便可豹窥一斑。

（1）波伦亚大学数学教授费罗大约在1515年，发现了一类特殊的三次方程的解法。

（2）米兰学者卡尔丹的《大法》中，收录了塔塔利亚另一类三次方程的解，他的学生费拉在1540年得出了关于四次方程的解法，不过费拉只讨论了有限的几类四次方程，通过引入新变量，将其转化为可解的三次方程。

（3）在法国，韦达先后发表《分析引论》（1591），《论方程的整理与修正》（1615），及《有效的数值解法》（1600）等方程论著作，给出了代数方程的似解法，与代数式方程分解因式解法。数学符号化体系要归功于韦达，正是符号体系的建立，才使代数成为一门独立的学科，这对于数学本身，以及后来分析的发展，都至关重要。［４］

（4）透视与射影：因天文计算的需要，人们开始重新审视希腊人的圆锥曲线。文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，画家要将三维现实世界绘制到二维的画布上，导致透视学的兴起，也催生出射影几何学。

（5）英国数学家纳皮尔在他的《对数算术》（1621）中编制了常用对数，大大减轻了计算的工作。

（6）再往前看，坐标法在古希腊（绘制地图）和罗马（测量地形）都出现过，14世纪，法国学者N.奥雷斯姆也用过坐标的方法，并写出了直线的方程，但其思想和方法都很零散，缺乏完整性。

（7）提出几个生活时期部分与笛卡尔交叠的杰出人物：帕斯卡、莎士比亚、伽利略、密尔顿、哈维。

可以说，到16世纪末17世纪初，整个初等数学的主要内容已基本定型，文艺复兴所促成的东、西方数学的融合，为近代数学的兴起及后来的快速发展铺平了道路。这一切都为几何学新理论的产生提供了契机。

（二）笛卡尔与费马的不同工作。

很多教材在谈论解析几何的工作时，都会谈到笛卡尔与费马，但是对两人所做的工作是相同还是不同却很少谈及。

笛卡尔是从哲学的高度去认识数学，并决心创造一种新的数学而引进变数，在几何方面是以帕斯卡问题研究开始的（即轨迹问题），侧重于代数方程根的构造。

费马是在阿波罗尼圆锥曲线问题的研究中引入变数，并使用了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数表达式，独立于笛卡尔发现了解析几何一般原理。他侧重于不定方程解的作图。

从费马与帕斯卡·罗伯瓦尔的通信中可知，早在笛卡尔的《几何学》（1637）发表之前，费马已经提出了研究曲线方程的一般方法：

“毫无疑问，古人对轨迹写得非常多……但是，如果我没有想错的话，他们对于轨迹的研究并非是那么容易的，原因只有一个，这就是由于他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示的缘故。”［１］

显然，笛卡尔和费马在对解析几何的研究上，殊途同归，共同创立了解析几何。其后又经历了一个多世纪的发展和创新，逐步形成了解析几何的系统理论，并由平面进一步推广到空间，极大地扩展了数学领域，为空间观念的变革铺平了道路，也为科学发现提供了有力的数学工具。

（三）解析几何的局限性。

以现代人的眼光来看，《几何学》还算不上一本真正的解析几何，因为它的坐标轴不是纵横两条坐标轴构成一个“十字架”，当时，根本就没有坐标这个概念，因此，笛卡尔最杰出的贡献是引入新的思想——形数结合。而《几何学》中一些不完整的部分，以及某些比较晦涩的论断，经后来人们的不断完善，才有了今天的解析几何。在一百多年后，克拉美的《代数曲线分析引论》中才正式引入Y轴，“坐标”与“纵坐标”这两个词，莱布尼茨分别在1692年与1694年首先创用，而“横坐标”一词，一直到十八世纪才由沃尔夫引入。

三、数学家轶事在课程设计中的人文意义

以往的教材体系中“硬”的成分太多，“软”的成分太少，教材要充分体现“人性”的光辉，并在更宽的层面上提高教材的文化含量，我认为，在中学教材中引入数学家轶事很有必要。

其实，圆锥曲线所涉及的两位数学家都有许多趣闻佚事，流传的版本也非常之多，从中我们可以读到他们做为普通人生活的一面。如果我们只是讲数学家如何如何成功，发表了多少多少著作，而不去了解他们的另一面是什么样子，势必对数学家产生“遥远的距离”感，以至于使数学本身都偏离我们的生活之外。

贝尔在《数学大师》中对笛卡尔和费马的介绍我认为比较全面。但根据中学生的特点，他们的世界观才基本形成，容易受到外围事物的干扰，对于笛卡尔曾经一度沉迷赌博、女人，可以作程度较轻的叙述。

“我只要求安宁与平静”，笛卡尔的故事正是从他说的这句名言开始，去搜寻他自由的一生。比如“从小到大，想睡多久就睡多久，喜欢在孤独中冥想的平静”，还有“他之喜欢数学，就像一朝发现了自己的翅膀的鸟儿之喜欢天空”，［５］等等，全书充满着这样感性亲切的描述。

当然也有关于他多次加入军队打仗，期间充满对生活和战争的厌倦。其中还讲到1619年11月1日，在圣马丁之夜，笛卡尔所做的三个生动的梦和后来人们对这三个梦的神秘阐释，以及先后成为伊丽萨白公主和瑞典女王克里斯蒂拉的私人老师所经历的无奈和矛盾。特别是当伽俐略的“日心说”遭遇神学的反对，被送上宗教法庭的时候，笛卡尔表现了作为普通人应有的惧怕，而没有出版《论世界》，等等。

我想通过对笛卡尔的全面解读，学生会潜移默化地感知数学家的个性魅力，对数学学习产生无限的亲近。

在圆锥曲线中不得不提到另一个最伟大的数学家——费马，“并不是所有我们的鸭子都能变成天鹅”，费马作为最杰出的业余数学之王，在解决了微积分和解析几何中他最感兴趣的部分后，并不像笛卡尔和帕斯卡为关于上帝、人和宇宙的哲学所吸引，而是继续自由地把他的剩余精力奉献给他最喜欢的消遣——纯数学，并在数论、概率、微积分方面都做出了伟大的贡献。

贝尔的书中更多地谈到费马的为人：“他一生过着平稳和安静的生活，避开无益的争执”，他先后担任过晋见接待官、地方议会的议员。“然而，这个过着平静的一生的、诚实、和气、谨慎、正直的人，有着数学史上最美好的故事”。从这些描述中，我们可以看到贝尔对费马的无限偏爱。我想学生在读到这些故事的时候，会不自觉地有所感悟。费马的成就很多，最出名的就是数论中的费马大定理，这个费马写在书边空白处的定理，曾一度被认为是一个“美妙的错误”，因为它吸引了像欧拉、高斯这样世界一流的数学大师的参与竟未得结果。巴黎科学院设奖悬赏数次，仍然是同样结局。数学家佛尔夫斯克尔在皇家科学会悬赏10万马克之后，又过了九十年，依然没有得到证明。

直到1994年，由普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯无可辩驳地证明了费马大定理。这是不是应了笛卡尔在《几何学》最后所写下的话：“我希望后人将给我以好评，不仅因为我已经说明了的东西，而且因为我有意省略，以使他人也能体验发现乐趣的东西。”至于费马大定理的证明过程，是不是大师的“有意省略”之笔，就让它成为历史的玄秘吧。

在有关费马的故事中，我认为还可以补充“费马数之谜”这一部分。我们可以从中了解到数学发现的过程，既有趣又繁复，如果没有对数学的浓厚兴趣，是不可能有所建树的，什么是费马数呢？费马数就是在1640年，费马发现了素数公式：f（2n）=2²ⁿ+1。1801年，19岁的高斯证明了一个具有费马素数个边的正多边形，一定可以用尺规作出，他第一个作出了正十边形尺规作法，并要求将正十边形的图形刻在自己的墓碑上。

后来，又有数学家作出了正257边形，作图过程长80页，还有个数学家作出了正65537边形，作图过程放满了一个手提箱，手稿保存在哥廷根大学，等待尺规作图新纪录。

“费马数之谜”会让学生看到数学家的执着和对待数学的科学精神。

参考文献：

［1］刘洁民.数学思想史讲义——中国传统数学专题.

［2］李小军，翁方愚.数学与数学家故事.中国铁道出版社.

［3］李文林.文明之光——图说数学史.山东教育出版社团组织，2005.4.

［4］武锡明，郭宗明.数学史与数学教育.

［5］贝尔.数学大师.上海科技出版社，2004.12.