“等比数列”学法指津
摘要:等比数列时高中数列教学中的重难点,也是高考中的热点。等比数列往往能与函数、不等式、解析几何等知识相结合,具有相当的难度。本文就等比数列教学中涉及的性质结论、思想方法进行系统归纳,以求举一反三。
关键词:等比数列
一、 知识 精讲 1. 如果一个数列 na 从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比,我们通常用字母 q ( 0 q )表示。数学语言描述:对于数列 na ,如果满足1 n na qa ( 2 n 、*n N , q 为常数, 0 q ),那么 na 为等比数列。
2.当等比数列的公比 1 q 时。该等比数列为常数列。
3.等比数列的通项公式:11nna aq ,对于等比数列的通项公式,我们有以下结论:
①n mn ma a q ;②nn mmaqa ( m n ,此结论对于nn mmaa 有意义时适用)。
4. 等比数列的增减性:若10 a ,当 1 q 时,等比数列 na 为递增数列;当 0 1 q 时,等比数列 na 为递减数列;当 0 q 时,等比数列 na 的增减性无法确定(摆动数列)。若10 a ,当 1 q 时,等比数列 na 为递减数列;当 0 1 q 时,等比数列 na 为递增数列;当 0 q 时,等比数列 na 的增减性无法确定(摆动数列)。
5. 如果在数 a 和 b 中间插入一个数 G ,使得 a 、 G 、 b 三数成等比数列,那么我们就称数 A 为数 a 和 b 的等比中项,且2G ab 。
6.等比数列的前 n 项和公式 设数列 na 是公比为 q 的等比数列,那么该数列的前 n 项和 1111, 11, 11 1nnnnana qS a qa a qqq q 。
7.等比数列的主要性质:
(1)在等比数列 na 中,若 m n p q ,则m n p qa a a a ; (2)在等比数列 na 中,若 2 m n p ,则2m n pa a a ; (3)对于等比数列 na ,若数列 kn 是等差数列,则数列 kna 也是等比数列; (4)若数列 na 是等比数列,则对于任意实数 ,数列 na 、 na也是等比数列; (5)若数列 na 是等比数列且 0na ,则数列1na 也是等比数列; (6)若数列 na 是等比数列且 0na ,则数列 log ana 为等差数列; (7)若数列 na 和 nb 都是等比数列,则数列 n na b 也是等比数列; (8)若nS 是等比数列 na 的前 n 项和,则nS 、2n nS S 、3 2 n nS S 、…成等比数列,其公比为nq ; 二 、 方法指引 1.等差数列的证明:①nna AB ( 0 B );②nnS a bq ( 0 q 、 1 q ), 0 a b ;③证明1 nnaa为常数(对于 0na 适用);④证明21 2 n n na a a 。
2.当引入公比 q 辅助解题或 q 作为参数时,注意考虑是否需要对 1 q 和 1 q 进行分类讨论。
3.证明数列是等比数列、不是等比数列,讨论数列是否等比数列,求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。
4.注意巧用等比数列的主要性质,特别是m n p qa a a a ( m n p q )和2m n pa a a ( 2 m n p )。
5. 三数成等比数列,一般可设为aq、 a 、 aq ;四数成等比数列,一般可设为3aq、aq、aq 、3aq ;五数成等比数列,一般可设为2aq、aq、 a 、 aq 、2aq 。
三、典型例题 例 1
数列 na 为各项均为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,且前 n 项中数值最
大的项为 54,它的前 2n 项和为 6560,求首项1a 和公比 q 。
解:若 1 q ,则应有22n nS S ,与题意不符合,故 1 q 。依题意有:
121180 (1)116560 (2)1nna qqa qq (2)(1)得21821nnqq即282 81 0n nq q
得 81nq 或 1nq (舍去), 81nq 。
由 81nq 知 1 q , 数列 na 的前 n 项中na 最大,得 54na 。
将 81nq 代入(1)得11 a q
(3), 由1154nna aq 得154naq q ,即181 54 a q
(4), 联立(3)(4)解方程组得123aq 。
例 2
(1)已知 na 为等比数列,32 a ,2 4203a a ,求 na 的通项公式。
(2)记等比数列 na 的前 n 项和为nS ,已知166na a ,4 3128na a , 126nS ,求 n 和公比 q 的值。
解:(1)设等比数列 na 的公比为 q ( 0 q ),2 4203a a ,则33203aa qq , 即2 2023qq 也即1 103qq ,解此关于 q 的一元方程得13q 或 3 q 。
33nna a q ,3312 2 33nnna 或32 3 nna 。
(2)在等比数列 na 中,有4 3 1128n na a aa ,又166na a ,联立解得 1264naa 或1642naa ,
由此知 1 q ,而11261nna a qSq ,从而解得 26qn 或126qn。
例 3
已知数列 na ,其中 2 3n nna ,且数列 1 n na a ( 为常数)为等比数列,求常数 。
解:
1 n na a 为等比数列,那么 21 2 1 1 n n n n n na a a a a a ,将2 3n nna 代入并整理得1(2 )(3 ) 2 3 06n n ,解之得 2 或 3 。
例 4
设 na 、 nb 是公比不相等的两个等比数列,n n nc a b ,证明数列 nc 不是等比数列。
解:设 na 、 nb 分别是公比为 p 、 q ( p q )的两个等比数列,要证明 nc 不是等比数列,我们只需证22 1 3c cc 即可。事实上 22 2 2 2 22 1 1 1 1 1 12 c a p bq a p ab pq b q 2 2 2 21 3 1 1 1 1 1c c a b a p bq a p
2 2 2 21 1 1b q ab p q , p q ,2 22 p q pq ,又1a 、10 b ,22 1 3c cc , 数列 nc 不是等比数列。
四、同步训练 1.已知等比数列 na 中21 a ,则其前 3 项的和3S 的取值范围是(
) . A , 1
. B ,0 1,
. C 3,
. D , 1 3,
2.已知 na 是等比数列,4125 2 a a , ,则1 2 2 3 1 n naa a a a a
. A 16 1 4n
. B 16 1 2n
. C 321 43n
. D 321 23n
3.若实数 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数2y ax bx c 与 x 轴的交点的个数为(
)
. A 0
. B 1
. C 2
. D 无法确定
4. 在数列 na 中, 0na ,且 1 n na a是公比为 q ( 0 q )的等比数列,该数列满足1 1 2 2 3 n n n n n na a a a a a (*n N ),则公比 q 的取值范围是(
)
. A1 202q
. B1 502q
. C1 202q
. D1 502q
5.设数列 nx 满足1log log 1a n a nx x ( 0 a , 1 a ,*n N ),且 1 2 100100 x x x ,则101 102 200x x x __________。
6.设 na 为公比 1 q 的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24 8 3 0 x x 的两根,则 2007 2006a a __________。
7.设 na 是由正数组成的等比数列,公比 2 q ,且301 2 3 302 aa a a ,则3 6 9 30a a a a __________。
8.设两个方程21 0 x ax 、21 0 x bx 的四个根组成以 2 为公比的等比数列,则ab ________。
9.设数列 { }na 为等比数列, 1 2 11 2n n nT na n a a a ,已知11 T ,24 T 。
(1)求等比数列 { }na 的首项和公比; (2)求数列 { }nT 的通项公式。
10.设数列 na 的前 n 项和为nS ,已知 2 1nn nba b S
(1)证明:当 2 b 时, 12 nna n 是等比数列; (2)求 na 的通项公式。
11.已知数列 { }na 和 { }nb 满足:1a ,124, ( 1) ( 3 21)3nn n n na a n b a n ,其中 为实数, n 为正整数。
(1)对任意实数 ,证明数列 { }na 不是等比数列; (2)试判断数列 { }nb 是否为等比数列,并证明你的结论;
(3)设 0 a b ,nS 为数列 { }nb 的前 n 项和。是否存在实数 ,使得对任意正整数 n ,都有na S b ?若存在,求 的取值范围;若不存在,说明理由。
【同步训 练参考答案】
1. D
解析:设数列的公比为 q ,那么23 1 2 3 2 211aS a a a a a q qq q ,函数1( ) 1 f q qq ( 0 q )的值域为 , 1 3, ,从而求得3S 的取值范围。
2. C
解析:等比数列 na 的公比53321 18 2aqa ,显然数列 1 n na a也是等比数列,其首项为2 221 2281 2aa aq ,公比221 11 11 12 4n n nn n na a aq qa a a , 1 2 2 3 118 14321 41314nnn na a a a a a 。
3. A
解析:
a 、 b 、 c 成等比数列,2b ac , 二次函数2y ax bx c 的判别式2 24 3 0 b ac b ,从而函数与 x 轴无交点。
4. 1 1 2 2 3 n n n n n na a a a a a ,21 1 1 n n n n n na a a a q a a q ,而 0na , 10n na a ,21 q q 即21 0 q q ,解得 15 1 52 2q ,而 0 q ,故公比q 的取值范围为1 502q 。
5.100100a
解析:1log log 1a n a nx x ,即1log 1nanxx ,也即1 nnxax ,从而数列 nx 是公比为 a 的等比数列。
100 100101 102 200 1 2 100100 x x x x x x a a 。
6. 18
解析:24 8 3 0 x x 的两根分别为12和32, 1 q ,从而200412a 、200532a ,
200520043aqa 。
2 22006 2007 2004 20052 3 18 a a a a q 。
7.202
解析:
15301 2 3 30 1 302 a a a a a a ,21 302 4 aa , 55 5 52 10 5 10 203 6 9 30 3 30 1 32 1 30 1 304 2 2 a a a a a a a a a a q a a q 。
8.274 解析:设该等比数列为1x 、2x 、3x 、4x , 1 4 2 3x x x x 2 3 21 18 1 x q x , 11 18 2 2x ,从而212x 、32 x 、42 2 x , 1 1 272 2 24 2 2 2ab 。
9.解:(1)对于等式 1 2 11 2n n nT na n a a a ,令 1 n 得1 11 T a ;令2 n 得2 1 2 22 2 4 T a a a ,22 a ,212aqa 。
(2)12 nna ,则2 2 12( 1) 2 ( 2) 2 2 2n nnT n n n
① ① 2 得
2 3 12 2 2 ( 1) 2 ( 2) 2 2 2n nnT n n n
② ② ①得:
2 3 1 112 1 22 2 2 2 2 ( 2 ) 2 21 2nnn n n nniT n n n n 。
10.解:(1)证明:由题意知12 a ,且 2 1nn nba b S , 11 12 1nn nba b S
两式相减得 1 12 1nn n nb a a b a ,即12 nn na ba
① 当 2 b 时,由①知12 2 nn na a ,于是 11 2 2 2 1 2n n nn na n a n 12 2 nna n
又111 2 1 0na ,所以 12 nna n 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。
(2)当 2 b 时,由(1)知1 12 2n nna n ,即 11 2 nna n ;
当 2 b 时,由①得
1 111 12 2 22 2n n nn na bab b 22nnbbab 122nnb ab 111 12 22 2n nn na b ab b 2 12nbbb 12 112 2 2 22nn nnab b nb 11.解:(1)证明:假设存在一个实数 ,使 { }na 是等比数列,则有22 1 3a aa ,即 2 2 22 4 4 4( 3) ( 4) 4 9 4 9 03 9 9 9 ,矛盾。
所以 { }na 不是等比数列. (2)解:
1 11 121 3 1 21 1 2 143n nn n nb a n a n 2 21 3 213 3nn na n b 。又1( 18) b ,所以
当 18 时,*0( )nb n N ,这时 nb 不是等比数列; 当 18 时,1( 18) 0 b 由上可知 0nb ,*12( )3nnbn Nb 。
故当 18 时,数列 nb 是以 ( 18) 为首项,23 为公比的等比数列。
(3)由(2)知,当 18 时, 0nb , 0nS ,不满足题目要求。
18 ,故知 12183nnb ,可得 3 218 15 3nnS , 要使na S b 对任意正整数 n 成立,即 3 218 15 3na b ,
得 31852 21 13 3n na b
① 令2( ) 13nf n ,则 当 n 为正奇数时,51 ( )3f n ;当 n 为正偶数时,5( ) 19f n 。
所以 ( ) f n 的最大值为5(1)3f ,最小值为5(2)9f 。
于是,由①式得 318 18 3 185 9 5 3 5a bb a 。
当 3 a b a 时,由 18 3 18 b a 知,不存在实数 满足题目要求; 当 3 b a 时,存在实数 ,使得对任意正整数 n ,都有na S b ,且 的取值范围是( 18, 3 18) b a 。
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