思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展。”而数学史是数学文化的重要组成部分[3]。HPM（History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教育）致力于将数学史融入到数学教学中，融入数学史的教学实践为数学文化的渗透提供了思路。

技术与HPM融合是时下HPM领域的热门话题，HPM微视频是目前技术与HPM融合的主要途径。作为教学素材的HPM微视频的使用，能够更好地将数学文化融入课程。但目前小学HPM微视频的开发较少，小学数学教师在开发HPM微视频时缺乏相应理论的指导。小学课堂中应用HPM微视频有哪些优点？小学HPM微视频该如何设计？笔者结合华东师范大学HPM团队已开发的微视频来具体谈谈。

二、小学课堂中应用HPM微视频的优点

近年来，作为微课、翻转课堂等新型教学形式内容素材的微视频，已得到较多的研究[4][5][6]。结合多位学者的观点，我们认为HPM微视频是基于特定的目的融入数学史、应用于某教学环节、时长1—3分钟的视频素材。

在小学课堂上应用HPM微视频有诸多优点。首先，HPM微视频的素材丰富，内容、节奏、画面等都是精心打磨后的成果，比课堂上现场讲授更精准;第二，课堂上转换教学手段，能有效吸引学生的注意力，提高教学效率;第三，微视频可重复使用，可实现资源共享，让刚刚接触到HPM的教师得以更快地在课堂上使用;第四，微视频打破了课堂教学片段不可复制的弊端，学生可以在课后观看，加深印象;第五，教育取向的数学史内容能够帮助学生体验数学的发展历程，加深对数学知识的理解;第六，HPM微视频为一般的教学提供了新的思路和素材，HPM微视频的开发过程能够帮助授课教师进一步思考数学的本质，有助于教师的专业发展。

三、小学HPM微视频的设计

小学HPM微视频的开发流程包括设计、制作、应用、评价环节，可以通过评价环节，获得反馈，进而改进设计，具体开发流程如图1所示。

图 1   小学HPM微视频的开发流程

设计是小学HPM微视频开发的第一环节。与小学HPM课例开发相类似，HPM微视频也不宜为历史而历史，设计中需要充分考虑到学生的认知水平，遵循趣味性、科学性、有效性、可学性、人文性这五项原则[7]。小学HPM微视频的设计，史料内容的选择十分重要，同时还要考虑课堂环节、课型与微视频类型之间的关系。

（一）确定课型、圈定融入环节、搭配微视频类型

小学HPM微视频可分为四种类型：创设情境类、重现历史类、介绍思想类和展示方法类。详细描述如下：

创设情境类是指借用古代的环境、事件、文化等，创设情境，提出问题，引出课题，强调知识产生的缘由和必要性;

重现历史类是指呈现不同时代、不同地区的数学家对某个定理或概念的研究，重现这个概念或定理的历史发展过程;

介绍思想类是指以一个数学家为中心，介绍该数学家提出的一些核心数学思想;

展示方法类是指针对现代数学问题，展示被今人忽视的古代精彩解法。

如果将小学数学课的类型分为序言课、概念课、法则课、习题课、复习课五种类型，那么不同微视频类型适合不同的课型，需根据教学目标恰当选择，表1给出了具体的对应关系。

表1   不同微视频类型适合的课型

[微视频类型 适合的课型 创设情境 序言课、概念课、法则课 重现历史 概念课、法则课、习题课 介绍思想 序言课、法则课、复习课 展示方法 概念课、法则课、习题课、复习课 ]

如果将课堂环节分为引入主题、探究新知、例题应用、归纳总结四个环节，那么不同微视频类型适合不同的课堂环节，且应用较为灵活，表2给出了具体的对应关系。

表2   不同微视频类型适合的课堂环节

[微视频类型 适合的课堂环节 创设情境 引入主题、探究新知 重现历史 探究新知、例题应用、归纳总结 介绍思想 探究新知、归纳总结 展示方法 探究新知、例题应用 ]

（二）参照微视频类型、选择史料内容、制作微视频

数学的历史源远流长，这为小学HPM微视频的设计提供了大量的素材。归纳来看，小学HPM微视频中的史料内容选择可以从“四个一”着手：一个人物、一个问题、一个故事、一种思想。在一个HPM微视频中可包含“四个一”中的一个或多个内容。

1.一个人物，灵动数学

人物是生动鲜活的，在小学HPM微视频中介绍古代数学家能够帮助学生领略鲜活的数学文化和悠远的数学历史。如在“三角形的面积”教学中，介绍刘徽和他作注的《九章算術》;在“平行四边形的面积”教学中，介绍欧几里得与《几何原本》;在“相遇问题”中，介绍斐波那契年轻时跟随父亲航海的经历和他的《计算之书》。能够帮助学生认识古代著名的数学家，在学生心中埋下数学文化的种子，让数学鲜活起来。

2.一个问题，目标明确

问题驱动的数学教学能让学生更加投入，小学HPM微视频中提出一个曾让古人感到困惑的问题，不仅能明确学习目标，还能让学生从古人的困惑中思考数学的本质。如“圆的认识”中，提到古巴比伦人无法画出标准的圆，引出如何画圆的问题;在“角”中，提出问题“为什么规定周角等于360°而不是其他度数”，让学生思考数学中这般规定的理由，感受数学知识创造的过程;在单元教学“平面图形的面积”的起始，提出尼罗河泛滥后土地分配的问题，让学生了解数学知识的来源，激发他们的学习动机。

3.一个故事，印象深刻

给学生讲故事能够有效吸引学生的注意力，而历史上的故事在丰富学生阅历的同时，也能加深学生对知识的印象。如在“圆的面积”中，讲述阿基米德为建筑工人解答木头粗细问题的故事;在“位置的表示方法”中，给学生讲述笛卡尔发明坐标系的故事;在“大数的认识”中，讲述阿基米德数沙的故事。当学生回忆起故事时，就能联想到相关的数学知识。

4.一种思想，注入灵魂

数学思想是数学的灵魂，对于数学思想的把握是小学HPM微视频设计的重要部分，除了介绍某种提炼后的思想，也可以展示某个特定的方法。如在“梯形的面积”中，总结“出入相补”原理和“转化”的重要思想;在“用字母表示数”中，用不同文明中对未知数的表达方式来渗透代数的思想;在“平行”中，介绍不同文明对平行的定义，并用视错觉图形引出“眼见不一定为实，需要靠论证才能解决问题”的道理，初步渗透几何证明的思维。

参照微视频类型，选择数学史内容后，可采用录像法、录屏法、编程法、手写法制作微视频。微视频的制作要以达成微视频特定的教学目的为参照，且不可为了使用而制作。

四、小学HPM微视频的应用案例

（一）创设情境，引发学生思考

在“圆的认识”这一课中，学生需要初步探究圆的内涵，尝试自己画圆。HPM微视频中给学生展示了历史上的圆，在远古时期，人类认识圆是从仰望天空开始的，在两河流域的数学泥版BM 15285（如图2）上有着古人画出的圆，但这圆很不规整，由此提出问题：为什么古人不能画出规整的圆？你能画出标准的圆吗？给出图钉、棉线、橡皮筋，让学生选择工具，尝试画圆。利用史料引导学生进行探究，从设计的活动中让学生领会圆的概念。这节课类型是概念课，该HPM微视频属于创设情境类，选擇了一个问题，应用在探究新知环节。

图 2   两河流域数学泥版 BM 15285

（二）重现历史，体会动态发展

在“用字母表示数”一课中，教师可介绍用字母表示数的发展历程，让学生体会到数学知识是动态发展的。19世纪德国数学史家内塞尔曼将代数符号的引入和发展分为三个阶段：修辞代数、缩略代数和符号代数。在代数发展的早期，人们完全用文字来表达一个代数问题的解法，属于修辞代数;公元3世纪，古希腊的数学家丢番图在他所著的《算术》中首次用字母“<Y：＼教学月刊小学版数学＼小学数学2019-11＼小学数学2019第11期内芯＼Image＼image3.pdf>”表示未知数，人类进入了缩略代数的时期;在宋元时期，我国古代数学家李冶则在《测圆海镜》一书中，提到用“元”来表示未知数;到了16世纪，法国数学家韦达使用字母来表示任意数或一类数，标志着符号代数的到来。在《分析引论》中韦达使用大写的元音字母A，I，O，V，Y等来表示未知数，用辅音字母B，G，D等表示已知数;17世纪笛卡尔则采用字母表中位置靠后的小写字母（如x ，y ， z）来表示未知数或变量，用靠前的字母（如a， b， c）表示已知数或常量。在用符号表示未知数中，无论使用的是“<Y：＼教学月刊小学版数学＼小学数学2019-11＼小学数学2019第11期内芯＼Image＼image3.pdf>”还是“元”，是英文字母“A”还是“x”，其本质是没有差别的。这节数学课类型是概念课，该HPM微视频属于重现历史类，选择了几个人物和一个思想，应用在归纳总结环节。

（三）提炼思想，增强学习自信

在“三角形的面积”一课中，运用《九章算术》中的“出入相补”原理是这节课的特点，课中教师引导学生用“以盈补虚”（如图3）的思想来解决面积的问题，将三角形通过割补的方式转化成已学的矩形，将“转化”的思想深入到学生的心中。在这节课中，学生思考出来的各种各样的方法非常精彩，但还需要进行总结。这时播放微视频，介绍刘徽与《九章算术》，并介绍中国古代计算三角形面积的方法，帮助学生提炼“以盈补虚”的思想。在微视频中，学生可以看到，中国古人所用的方法和自己想出来的方法十分相似，增强了他们数学学习的自信。这节课类型是法则课，该HPM微视频属于介绍思想类，选择了一个人物和一种思想，应用在归纳总结环节。

<Y：＼教学月刊小学版数学＼小学数学2019-11＼小学数学2019第11期内芯＼Image＼image4_2.png>

图 3   以盈补虚的方法

（四）回眸历史，展现方法之美

在“两位数除多位数”这一课中，例题之后用HPM微视频展现中国古代用算筹进行除法运算的方法，将算筹转化为学生易懂的数字来解释其中的算理。中国古代的算法充分利用了数位的概念，结构和方法与现在使用的竖式除法很相近（如图4）。回眸历史中的精彩方法，不仅能够让学生体会到古人的智慧，更能帮助学生从这些方法中感受算理，加深对数学的理解。这节课类型是法则课，该HPM微视频属于展示方法类，选择了一种思想，应用在例题应用环节。

图 4   古代中国的“除法竖式”

五、结语

在小学课堂中应用HPM微视频有诸多优点，但其设计不是一件容易的事情。在设计小学HPM微视频时，要考虑数学史料的趣味性、科学性、有效性、可学性和人文性，需包含人物、故事、问题或思想，要考虑不同的教学环节和不同的课型与微视频类型之间的关系，需选择合适的史料内容和呈现方式。总之要注意技术与数学史料的深度融合，以服务于教学目标的达成。

目前，在小学阶段，作为数学文化传播媒介的HPM微视频的应用还未常态化，HPM微视频还有广阔的发展空间，研究者需深入挖掘史料，选择更适合小学生的内容，以更好地助力学生的数学学习。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京： 人民教育出版社，2018：4-7.

[2] 刘祖希. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》之新变[J]. 中学数学教学参考，2018（9）：1.

[3] 王建磐， 汪晓勤，洪燕君. 中、法、美高中数学教科书中的数学文化比较研究[J]. 教育发展研究， 2015（20）： 28-32.

[4] 王觅，贺斌，祝智庭. 微视频课程：演变、定位与应用领域[J]. 中国电化教育，2013（04）：88-94.

[5] 李文.微视频技术在高中数学课程教学中的应用研究[J].中国教育技术装备，2014（15）：86-87.

[6] 戴申卫. 翻转课堂与高中地理教学微视频制作[J]. 中学地理教学参考，2013（10）：6-8.

[7] 汪晓勤. HPM研究之旅[J]. 小学教学：数学版，2018（7）：4-9.

（华东师范大学数学科学学院   200241

华东师范大学教师教育学院   200062）