摘  要：《墨经》是中国古代的“百科全书”，其内容涉及光学、逻辑学、知识论、几何学等学科的知识。《墨经》中的几何学和光学部分已达到相当深刻和先进的地步。其几何学知识体现在：点的定义、整体与部分、有穷与无穷，方与圆。这说明后期墨家不仅给点、方、圆等几何概念下了精确的定义，而且还讨论形体之间的相切、相交、相比、相离等关系。《墨经》集中讲光学的条目共有八条，主要解释说明针孔成像、投影、镜像以及反射等方面的光学现象。这些关于光学的记载比古希腊欧几里德的相关理论早一百多年。《墨经》中关于力学的条目有十几条，内容涉及时空观念、力的定义、杠杆原理、滑轮和斜面的作用等方面。其中，对时空和运动的关系，后期墨家的认识比较深刻。

关键词：《墨经》;几何学;光学;力学

中图分类号：B224   文献标志码：A   文章编号：1009-8135（2018）05-0107-08

墨翟著作《墨子》中的《经上》《经下》《经说上》《经说下》《大取》《小取》六篇总称为《墨经》六书，是后期墨家弟子的集体创作，成书于百家争鸣的战国后期（公元前3世纪）。《墨经》中大部分内容是战国时代墨家的逻辑学，小部分是墨家的伦理学，更有一小部分是自然科学，如几何学、光学、力学等。所以它是我国文化遗产中很重要的内容。下文拟详细介绍《墨经》中的自然哲学思想。

一、《墨经》中的几何学理论

“《墨经》涉及几何学的条目约有十几条。这些条目集中在《经上》和《经说上》两篇，主要是一些几何学概念的定义或界说，如‘体’‘尺’‘方’‘圆’‘中’‘仳’‘次’ ‘兼’等等。这些定义虽然看似简单，但它们涉及到几何学中整体与部分的关系，有穷无穷问题，点、线、面及形体之间相交、相切、相比等重要问题，具备了初步的几何学概念体系。”[1]222

（一）点的定义

端，体之无厚而最前者也。（《墨子·经上》）

端：是无间也。（《墨子·经说上》）

“在《墨经》中，‘端’有两种含义，既可指物理学上的质点或原子，又可指几何学上的点。李约瑟（Joseph Needham）曾把这两种含义结合起来，称之为‘几何原子’。本条经文中的‘端’大概是指几何学上的点。整句话的意思是说，任何一种几何体都可以分成很多部分，其中那些没有厚度（‘无厚’）、不能再分（‘无间’），并且位于几何体最前边的部分就叫做‘端’。严格地说，‘端’在事实上并不存在，它只是几何学的假定。后期墨家用‘无厚’‘无间’来定义‘端’，说明他们对几何学意义上的点已有充分的认识。”[1]223

对于“端”的物理学意义，后期墨家也有所论述：

非半弗都则不动，说在端。（《墨子·经下》）

非：都半，进前取也，前则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。郑必半，毋与非半，不可都也。（《墨子·经说下》）

本条主要是反驳辩者“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的命题。按照辩者的观点，一根一尺长的棍子，每天取去一半，永远都达不到终点。后期墨家不同意这种观点。他们认为，一根有限长的棍子按照“取半”的方法一直分割下去，总有一天会到不能再分的时候，这个时候就只剩下一个“非半”的质点。不管是从棍子的一头分起，还是从棍子的两头同时分起，结果都是一样的，只不过最后的质点所处位置不同。考虑到后期墨家反对《老子》“有生于无”的说法，他们不可能同意物理学意义上的“端”等于纯粹的虚无，所以人们通常认为后期墨家所谓“端”有点接近于德谟克利特（希腊文：Δημόκριτος）的原子。

（二）整体与部分

体，分于兼也。（《墨子·经上》）

体：若二之一，尺之端也。（《墨子·经说上》）

《墨经》中的“体”通常指部分，“兼”指整体。“体分于兼”的意思是说，部分是由整体分出的。《经说》进一步举出两个例子予以说明，其中，“一”和“二”的关系比较清楚，“二”相对于“一”来说是整体，“一”则是“二”的部分。“尺”与“端”则需要做些解释。在《墨经》中，“尺”相当于几何学上的线，“端”相当于点，所以“尺”和“端”的关系实际上就是几何学中线与点的关系。按照后期墨家，“尺”和“端”之间是整体和部分的关系，其意思无非是说，线是点的集合，点积累起来就是线。

（三）有穷与无穷

穷，或有前不容尺也。（《墨子·经上》）

穷：或不容尺，有穷。莫不容尺，无穷也。（《墨子·经说上》）

“或”即“域”字，指区域。“尺”指“线”。本条的意思是说，一个区域前面再也不能容下一条线，就叫有穷。反之，如果该区域向前延展，永远都达不到边际，永远都能够容得下一线，称为无穷。有穷和无穷是现代数学中一对极其重要的概念，后期墨家用寥寥数语就将其精炼地表述出来。

（四）方与圆

方，柱隅四灌也。（《墨子·经上》）

方：矩写交也。（《墨子·经说上》）

圆，一中同长也。（《墨子·經上》）

圆：规写交也。（《墨子·经说下》）

“这几条是讲几何图形中‘方’和‘圆’的定义。其中，‘柱’指边，‘隅’指角，‘灌’同‘权’，意为相等。经文合起来的意思是说，‘方’是四条边四个角相等，‘圆’是从一个中心到周围的距离处处相等。《经说》则借助绘图工具‘矩’和‘规’解释方圆的性质。矩是画方的仪器，规是画图的仪器。用矩画四条线相交即成方形，用规画一条封闭的相交曲线即成圆形。”[1]225另外，为了准确地说明“圆”的含义，后期墨家给“同长”和“中”分别下定义：

同长，以正相尽也。（《墨子·经上》）

同：捷与狂之同长也。（《墨子·经说上》）

中：同长也。（《墨子·经上》）

中：心自是往相若也。（《墨子·经说上》）

“同长”的意思是两个东西的长度相等，如门楗和门框，把一个叠合到另一个上面，两者正好相尽。“中”指“圆心”，是相对于圆周而言，从圆心到圆周的半径相等，所以“中”即“同长”。《墨经》用“同长”定义“中”，再用“同长”和“中”定义“圆”，一层层地推进、深入，充分显示出后期墨家思维的严格和缜密。

《墨经》中关于几何学方面的内容大体如此。从上文的介绍可以看出，后期墨家不仅给点、方、圆等几何概念下了精确的定义，而且还讨论形体之间的相切、相交、相比、相离等关系。李约瑟说：“无论如何，‘墨经’这些残存的资料和中国古代和中古代的许多其他证据都完全排除了任何一种认为中国古代缺乏几何思想的猜测。尽管中国几何学是一种对于事实的认识，而不是逻辑推理，并且代数的思潮以及它自己的逻辑推理形式在中国一直占有支配地位。”[2]这大概是对后期墨家几何学方面成就的最公允评价。

二、《墨经》中的光学理论

《墨经》中集中讲光学的共有八个条目，其内容主要解释说明针孔成像、投影、镜像以及反射等方面的光学现象。这些关于光学的记载比古希腊欧几里德（希腊文：Ευκλειδης）的相关理论要早一百多年。对于这八条所取得的成就，近代以来的科学史家多推崇备至。钱临照说：“这样有条理的完整的记录，文虽前后仅八条，寥寥数百字，确乎可称为二千年前世界上伟大光学著作。”[3]76由于这几条文字艰深，错落很多，下文撮其大意，略作介绍。

（一）投影

景不徙，说在改为。（《墨子·经下》）

景：光至，景亡;若在，尽古息。（《墨子·经说下》）

本条说明光和影的关系。按照常识，运动物体的投影，是随着物体一起移动的。但后期墨家经过仔细观察，发现投影并不跟随物体而移动（“景不徙”），我们之所以会感觉到影子在移动，那实际上是由于新影不断生成、旧影不断消亡的缘故，只不过这个过程太迅速，人们容易产生视觉错误而已。《经说》进一步解释说，光照射到的地方，投影马上就会消失。如果光源不动，物体也不动，那么投影将会永远地停留在原处。

（二）重影

景二，说在重。（《墨子·经下》）

景：二光夹一光，一光者景也。（墨子·经说下》）

本条说明重影现象及其原理。经文的意思是，一个物体有两种投影，是由于此物体受到两个光源的重复照射。在合适的条件下，这两种投影会有一部分交叉重叠，形成一个更暗的阴影。该阴影就是重影，又叫本影。本影之外没有交叉重叠的两部分投影就是半影。由两个光源所形成的两个半影夹着一个本影，这即《经说》所言之“二光夹一光”。“一光者景也”指的则是“本影”。后期墨家对本影与半影的解释与现代物理学的解释一致。

（三）针孔成像

景到，在午有端与景长，说在端。（《墨子·经下》）

景：光之人煦若射，下者之入也高，高者之入也下。足敝下光，故成景于上。首敝上光，故成景于下。在远近有端与于光，故景库内也。（《墨子·经说下》）

本条是后期墨家所做的世界上最早的针孔成像实验。“景”即影，也叫像。“午”的意思是交午，指光线的交叉。“端”即点，指屏中一小孔。经文的意思是说，影的倒立，在于光线交叉处（“午”）有一小孔（“端”）。这个小孔与光体的距离，关系到影的大小。《经说》则进一步解释说，光线的传播是直线进行的，所以它照入小孔就如箭一样。从人体下面射入小孔的光线就会照到壁的上方，从人体上面射入小孔的光线就会照到壁的下方。人足在下，蔽着下光，所以足影成于上;人首在上，蔽着上光，故首影在下。这样，人影所成之像自然就是倒立的。

后期墨家在本条中正确地说明光的直线传播原理，在科学史上是一项伟大的成就。科学史家钱临照曾称赞道：“这条《经》虽是一个极简单的光学实验的叙述，而它所说明的却是光学上最基本最重要的一个原理，这就是光是直线进行的原理。近代光学书上要说明光是直线进行的性质，就是用针孔照像匣的实验来说明的，而我们祖先却在二千年前已经发现这个光的基本性质，而加详细的描述了。”[3]83

（四）反射

景迎日，说在转。（《墨子·经下》）

景：日之光反燭人，则景在日与人之间。（《墨子·经说下》）

本条说明光的反射现象。通常，人站在阳光下，影子是背着日光的。现在的情况刚好相反，影子却迎着日光。后期墨家解释说，这是由于日光被某物反射，照在人身上，所以影子才会出现在人和太阳之间。把本条和上一条联系起来看，后期墨家在光学问题上似乎已经不再局限于被动的观察，他们很可能根据不同的条件有意设计过各种光学试验。

（五）物影变化

景之大小，说在杝正远近。（《墨子·经下》）

景：木杝，景短大;木正，景长小。大小于木，则景大于木。非独小也，远近。（《墨子·经说下》）

本条说明物体阴影变化的规律。经文的意思是说，物体的影子所以有时大有时小，是由于物体摆放的位置有斜有正，其与光源的距离有近有远。《经说》下则以一根木杆为例予以补充说明：当木杆斜放时，其影子就短而粗。当木杆正放时，其影子就长而细。当光体小于木杆时，木杆的影子就比木杆本身大。除了大小之外，光体与木杆的距离远近也会影响到杆影之间的关系。当光体离木杆远时，所成之影就比较小;当光体离木杆近时，所成之影就比较大。后期墨家通过对木杆及其影子的各种情况分析，说明物影变化的规律，充分显示出他们分析的细致和观察的周到。

（六）球面镜成像原理

临鉴而立，景到，多而若少，说在寡区。（《墨子·经下》）

临：正鉴，景多寡、貌态、白黑、远近、杝正异于光。鉴景当俱，就去亦当俱，俱用北。鉴者之臭，于鉴无所不鉴。景之臭无数，而必过正。故同处其体俱，然鉴分。（《墨子·经说下》）

本条是对球面镜成像特点的总论。经文的意思是说，当一个人正立于球面镜之前（“临鉴而立”），将会出现两种情况：一是所成之像是倒立的（“景到”），这是凹面镜成像的特点;二是所成之像比原物小（“多而若少”），这是指凸面镜成像的特点。至于球面镜为什么会成倒像和缩小之像，后期墨家的解释是，因为镜面与人体比较起来小，因而无法把整个人体都收进去（“说在寡区”）。这种解释是不正确的，它并没有把球面镜成像原理说明清楚。

《经说》对球面镜所成之像的特点作进一步的解释。“正鉴，景多寡、貌态、白黑、远近、杝正异于光”，意思是说球面镜所成之像的范围大小、状貌形态、色彩明暗、距离远近和位置倒正都和物体本身不同。“鉴景当俱，就去亦当俱，俱用北”，意思是凡在镜前之物都一定会在镜内成一个像，镜与像同时存在。而且，物体在镜面前进行离开和接近的移动，像也会跟着进行移动。不过，物体和像的移动方向刚好相反：当物体逐渐接近镜面时，像总是逐渐离开镜面;当物体逐渐离开镜面时，像则是逐渐接近镜面。“鉴者之臭于鉴无所不鉴。景之臭无数，而必过正”大概是说，人的容貌在镜中都会有所反映，镜中所成之像的容貌是多种多样的，但与人的真实容貌总有差别。最后一句“故同处，其体俱，然鉴分”的意思是，如果磨得不好的镜面，其不同部分会有不同的曲率，一个物体在镜中会形成几个不同的像。综上可知，后期墨家从经文到说文已经有所进步，《经》中对球面镜成像原理的解释还很模糊而不准确，《经说》对物体和镜像关系的说明则较清楚、准确。

（七）凹面镜成像原理

鉴洼，景一小而易，一天而正，说在中之外内。（《墨子·经下》）

鉴：中之内，鉴者近中，则所鉴大，景亦大;远中，则所鉴小，景亦小，而必正，起于中隧，正而长其直也。中之外：鉴者近中，则所鉴大，景亦大;远中，则所鉴小，景亦小，而必易。合于中而长其值也。（《墨子·经说下》）

本条说明凹面镜成像的原理。“洼”即低、深的意思，“鉴洼”就是指凹面镜。按照《经》文，凹面镜成像有两种：一种是缩小而倒立的（“一小而易”），一种是放大而正立的。其根据在两者分别形成于物体的球心之外、内（“说在中之外、内”）。科学史家已经指出后期墨家这种说法不准确，因为他们没有明确区分球心和焦点，只是笼统地说中之外内，所以对凹面镜成像的第三种情况即物体在球心和焦点之间所成之像没有明确论述。

不过，《经说》则不同，其明确提出“中隧”的概念，以区别于球心。这说明后期墨家对焦点和球心的区别已有所认识。《经说》的解释同样分为两种情况：一种是物体在球心之内时，物体离球心近些（“近中”），则物体照起来也大些（“所鉴大”），因此所形成的像也大些（“景亦大”）;物体离球心远些（“远中”），则物体照起来也小些（“所鉴小”），因此所形成的像也小些（“景亦小”）。在这种情况下，像必定是正立的，物体也是从焦点开始（“起于中隧”），正立着往镜面方向挪动位置的。显然《经说》的作者已经认识到放大正立的像是物体位于焦点以内所形成。另一种情况是物体在球心之外时，物体离球心近些，则物体照起来要大些，所形成的像也要大些;当物体离球心远些时，则物体照起来要小些，所形成的像也要小些。在这种情况下，像必定是倒立的，物体也是在球心同自己的像重合之后，再背着镜面而挪动其位置的。由此可见，《经说》对《经》似乎并不限于单纯的注解或例釋，而是有所补充和修正。这从一个侧面再次说明《墨经》诸篇非出于一人之手。

（八）凸面镜成像原理

鉴团，景一。（《墨子·经下》）

鉴：鉴者近，则所鉴大，景亦大;其远，所鉴小，景亦小，而必正。景过正故招。（《墨子·经说下》）

本条说明凸面镜成像的原理。“团”即图，指球体。“鉴团”说的就是凸面镜。经文的意思是说，物体无论放在凸面镜前的什么位置，都只能形成一种像。《经说》则给予比较详细的解释：当物体距镜面近时，则物体照起来要大些，所形成的像也要大些;当物体离球心远时，则物体照起来要小些，所形成的像也要小些。而且，物体无论在何处，所成之像总是正立的。

值得注意的是，后期墨家还注意到凸面镜所成之像为虚像。《经说》中所谓“招”，即招摇、恍惚不定的意思。但他们对凸面镜成虚像原因的解释却是不对的。后期墨家认为，如果物体与镜面的距离逐渐加远到极大时，像可以从正立转变为倒立（“过正”），进而变得模糊不清。这种结论大概是他们从凹面镜成像原理推测而来的。

《墨经》中关于光学的八条内容，尽管还有不准确甚至错误之处，但并不影响其在科学史上的崇高地位。《墨经》是世界上现存最早的光学著作，后期墨家是科学史上较早试图解释和研究光学问题的一批科学家，他们对投影、反射、光的直线传播和球面镜成像原理等方面的认识和探索在当时占有绝对领先的地位。

三、《墨经》中的力学理论

“《墨经》中关于力学的条目有十几条，内容涉及到时空观念、力的定义、杠杆原理、滑轮和斜面的作用等方面。其中，对时空和运动的关系，后期墨家的认识比较深刻，对杠杆原理的发现，后期墨家也比西方为早。后期墨家之所以在力学方面取得一些成就，大概与他们从事筑城制械等军事活动有关。”[1]234

（一）时间和空间

久，弥异时也。（《墨子·经上》）

久：古今旦暮。（《墨子·经说上》）

宇，弥异所也。（《墨子·经上》）

宇：东西家南北。（《墨子·经说上》）

“力学是研究机械运动的，机械运动与时间、空间紧密相联。后期墨家对时空问题相当重视，他们首先给时间和空间分别下了一个定义：时间（‘久’）是所有不同时刻和时段的总和，空间（‘宇’）是所有不同场所或方位的总和。《经说》则从外延方面予以进一步说明：时间包括过去、现在、白天、晚上。空间包括东、西、中（‘家’）、南、北。”[1]234-235

这两个看似简单的定义，却有非常深刻的涵义。第一，它们揭示了时空具有无限性。后期墨家关于时间和空间的定义中都用了一个“弥”字。“弥”是一个全称概念，有包含万物、周全的涵义。《墨经》用“弥”字定义时间和空间，其实是揭示时间与空间的共性——无限性。第二，这两个定义说明时间和空间是有限和无限的统一。虽然时间是无始无终的，空间是无边无际的，但必须借助于有限的时段和具体的场所才能把无限的时间和空间体现出来。换言之，只能从具体的时刻（“异时”）才能体验时间，只能从具体的场所（“异所”）才能体验空间。后期墨家用“东西家南北”来定义空间、“古今旦暮”来定义时间，说明他们认识到时空观念都是从具体的感性经验中抽象出来的理性概念。

（二）瞬时的定义

始，当时也。（《墨子·经上》）

始：时，或有久，或无久，始当无久。（《墨子·经说上》）

这里所说的“瞬时”是力学中的一个重要概念。如果要考察物体的运动，就必须把时间概念区分为两种：一种是无时隔的瞬间，一种是有时隔的时段。《墨经》中称瞬间为“始”，无时隔的时间为“无久”，有时隔的时间为“有久”。由于“始”的含义是“当时”，即当下的一刹那，所以“始”等同于无时隔的瞬间。把本条和上一条联系起来看，意思就是说，从整体上说时间上是无始无终的，但是具体到个别的事物，可以有一个开端，从研究具体事物的运动变化来说，则有必要设定一个时间值无限趨近于零的瞬间。后期墨家对“始”的定义为他们进一步研究物体的运动奠定基础[4]。

（三）运动与时、空

宇或徙，说在长宇久。（《墨子·经下》）

长宇：徙而有处宇，宇南北，在旦有在莫。宇徙久。（《墨子·经说下》）

行修以久，说在先后。（《墨子·经下》）

行：行者必先近而后远。远近，修也。先后，久也。民行修必以久也。（《墨子·经说下》）

这两条讨论运动和时间、空间的关系。第一条的意思是说，物体在空间的位置移动，实际上就是它在空间随时间的持续而自近而远。物体在空间的移动随时都有其所处的空间。如物体在空间自北向南，相应时间就从早晨到晚上。这说明物体在空间移动是需要时间的[5]。第二条的意思是说，物体行经一定的距离，相应地需要一定的时间，因为该物体行经各处有先有后。如人走路必须先近而后远，先后是时间，远近是距离，行走一定距离必须用一定的时间。两条合起来，可以看出后期墨家对运动和时空关系的基本看法：物质存在的形式是时间和空间，物质的运动是在一定的时间和空间中的运动。时间和空间紧密联系在一起，密不可分，物质在空间的运动需要相应的时间。这种看法比较符合现代科学的观点。

（四）力的定义

力，刑之所以奋也。（《墨子·经上》）

力：重之谓。下与重，奋也。（《墨子·经说上》）

力学中最核心的概念是“力”。《墨经》中用“刑之所以奋”解释“力”。其中，“刑”通形，指有形的物体;“奋”在古汉语中既有运动的含义，又有改变运动速度的涵义。这句话的意思是说，“力”是使物体由静而动、动而愈速的原因。《经说》中举例说，物体本身的重量是力的表现，像物体下坠就是基于重量的作用，因而也是用力的例子。就承认力是物体由静到动的原因这一点来说，后期墨家与西方科学革命以前的说法大体相同。不过，后期墨家同时还把物体运动速度的改变也归结为力的作用，这就远较西方进步。

从以上介绍大体可以看出，后期墨家在力学上的成就丝毫不亚于其在几何学、光学方面的成就，他们的理论和技术水平已达到很高程度。《墨经》是中国科学史上有待进一步挖掘的宝库。

参考文献：

[1] 张永义.墨子与中国文化[M].贵阳：贵州人民出版社，2001.

[2] 李约瑟.中国科学技术史：第3卷[M].何兆武，译.香港：中华书局香港分局，1980：212.

[3] 方李博.墨经中的数学和物理学[M].北京：中国社会科学出版社，1983.

[4] 崔雪茹.《墨经》中的逻辑理论探析[J].重庆三峡学院学报，2017（4）：115-123.

[5] 徐克明.墨家的物理学研究[G]//科技史文集：第12集.上海：上海科技出版社，1984：61.

（责任编辑：李 虎）

Abstract： MoJing is an encyclopedia of ancient China， which contains a wide range of contents， including optics， logic， epistemology， geometry and so on. The geometrical and optical parts of the book of inks have indeed reached a rather profound and advanced stage. The knowledge of geometry in the mohist is embodied in the definition of dot， the whole and the parts， the finite and the infinite， the square and the circle. This indicates that later mohists not only defined the geometric concepts of point， square and circle accurately， but also discussed the relations of tangency， intersection， comparison and separation between forms. There are eight articles focusing on optics in Mo Jing. In these eight articles， the optical phenomena of pinhole imaging， projection， image and reflection are explained. These accounts of optics predate those of ancient Greek Euclid by more than a hundred years. There are more than ten articles about mechanics in the Mo Jing， which involve the concept of time and space， the definition of force， the principle of leverage， the action of pulley and inclined plane， etc. Among them， the understanding of the relationship between time and space and movement is quite profound in the late period of Mohist School.

Keywords： geometry; optical; mechanical